函数自变量取值范围确定方法.docx

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函数自变量取值范围确立方法
函数自变量取值范围确立方法
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函数自变量取值范围的确定策略
金山初级中学庄士忠202108
函数是初中数学一个十分重要的内容,为保证函数式存心义或实诘问题存心义,函数式
中的自变量取值平常要遇到必然的限制,这就是函数自变量的取值范围。函数自变量的取值
范围是函数建立的先决条件,初中阶段确立函数自变量的取值范围大概可分为三各样类:〔1〕
函数关系式中函数自变量的取值范围;〔2〕实诘问题中函数自变量的取值范围;〔3〕几
何问题中函数自变量的取值范围。
一、函数关系式中函数自变量的取值范围:
初中阶段,在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种状况:〔1〕函数
关系式为整式形式:自变量取值范围为随意实数;〔2〕函数关系式为分式形式:分母≠0;
〔3〕函数关系式含算术平方根:被开方数≥0;〔4〕函数关系式含0指数:底数≠0。
典型例题:
例1:函数y=x1的自变量x的取值范围在数轴上可表示为【】
.
【分析】依据二次根式存心义的条件,计算出y=x1的取值范围,再在数轴上表示即可,
不等式的解集在数轴上表示的方法:>,≥向右画;<,≤向左画,在表示解集时“≥〞,“≤〞要用实心圆点表示;“<〞,“>〞要用空心圆点表示。依据二次根式被开方数必然是非负数的条
件,要使y=x1在实数范围内存心义,必然x10x1。故在数轴上表示为:
。应选D。
例2:函数y=
1
中自变量x取值范围是【
】=2
≠>2
<2
2
x
【分析】求函数自变量的取值范围,就是求函数分析式存心义的条件,依据分式分母不为
0
的条件,要使
1
在实数范围内存心义,必然
x20
x2。应选B。
2
x
例3:函数y=
2
中自变量x的取值范围是【
】>﹣≥≠﹣≥﹣2
x+2
【分析】求函数自变量的取值范围,
就是求函数分析式存心义的条件,
依据二次根式被开方
数必然是非负数和分式分母不为
0的条件,要使
2
在实数范围内存心义,必然
x+2
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x+2
0
x
2
2。应选A。
x+2
0
x
x>
2
例4:函数y
1
x的图像在【
】象限

、三
、四
x
【分析】∵函数y
1
0,∴y0,∴依据面直角坐标系中各象限点的
x的定义域为x
x
特点知图像在第一象限,应选
A。
二、实诘问题中函数自变量的取值范围:
在实诘问题中确立自变量的取值范围,主要考虑
两个要素:〔
1〕自变量自己表示的意义,如时间、行程、用油量等不可以为负数;〔
2〕问题
中的限制条件,此时多用不等式或不等式组来确立自变量的取值范围。
典型例题:
例1:某工厂生产一种产品,
当生产数目最少为
10吨,但不超出50吨时,每吨的本钱y〔万
元/吨〕与生产数目
x〔吨〕的函数关系式以以下列图.〔1〕求y对于x的函数分析式,并写出
它的定义域;〔2〕当生产这类产品的总本钱为
280万元时,求该产品的生产数目.
〔注:总本钱=每吨的本钱×生产数目〕
【分析】〔1〕利用待定系数法求出一次函数分析式即可,
依据当生产数目最少为10吨,但不超出50吨时,得出x的定义域。〔2〕依据总本钱=每吨的本钱×生产数目,利用〔1〕中所求得出即可。
【答案】解:〔1〕利用图象设y对于x的函数分析式为y=kx+b,
1
将〔10,10〕〔50,6〕代入分析式得:
10k+b=10,解得:
k=
10。
50k+b=6
b=11
∴y对于x的函数分析式为
1
x+11〔10≤x≤50〕。
y=
10
〔2〕当生产这类产品的总本钱为
280万元时,x〔
1
x+11〕=280,解得:
10
x1=40,x2=70〔不合题意舍去〕。∴该产品的生产数目为
40吨。
例2:某私营服饰厂依据2021年市场分析,决定2021年调整服饰制作方案,准备每周〔按
120工时计算〕制作西服、休闲服、衬衣共360件,且衬衣最少60件。每件服饰的
收入和所需工时以下表:
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服饰名称
西服
休闲服
衬衣
工时/件
1
1
1
2
3
4
收入〔百元〕/件
3
2
1
设每周制作西服
x件,休闲服y件,衬衣z件。
〔1〕请你分别从件数和工时数两个方面用含有
x,y的代数式表示衬衣的件数z。
2〕求y与x之间的函数关系式。
3〕每周制作西服、休闲服、衬衣各多少件时,才能使总收入最高?最高总收入是多少?
【分析】〔1〕题目中的条件分别从件数和工时数两个方面用含
x,y的关系式表示z。
〔2〕由〔1〕整理得:y=360-3x。
〔3〕由题意得s=3x+2y+z,化为一个自变量,获得对于
x的一次函数。由题意得
2x
60
x
0
,解得30≤x≤120,进而依据一次函数的性质作答。
3603x0
【答案】解:〔1〕从件数方面:
z=360-x-y,从工时数方面:由
1
1
1
2
x+y+
z=120整理
3
4
得:z=480-2x-4
y。〔2〕由〔1〕得360-x-y=480-2x-
4
y,整理得:y=360-3x。
3
3
3〕由题意得总收入s=3x+2y+z=3x+2〔360-3x〕+2x=-x+720
2x60
由题意得x0,解得30≤x≤120。
3603x0
由一次函数的性质可知,当x=30的时候,s最大,即当每周生产西服
30件,休闲服270件,衬衣60件时,总收入最高,最高总收入是690百元。
例3:某科技开发企业研制出一种新式产品,每件产品的本钱为2400元,,为了促销,激励商家购买该新式产品,企业决定商家一次购
买这类新式产品不超出10件时,每件按3000元销售;假定一次购买该种产品超出10件时,
每多购买一件,所购买的所有产品的销售单价均降低10元,但销售单价均不低于2600
元.(1)商家一次购买这类产品多少件时,销售单价恰巧为2600元?
(2)设商家一次购买这类产品x件,开发企业所获的收益为y元,求y(元)与x(件)之间的函
数关系式,并写出自变量x的取值范围.
(3)该企业的销售人员发现:当商家一次购买产品的件数超出某一数目时,会出现跟着一
次购买的数目的增添,,
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企业所获的收益越大,企业应将最低销售单价调整为多少元?(其余销售条件不变)
【分析】〔1〕设件数为x,那么销售单价为3000-10〔x-10〕元,依据销售单价恰巧为2600
元,列方程求解。〔2〕由收益y=销售单价×件数,及销售单价均不低于2600元,按0≤x≤10,
10<x≤50,x>50三种状况列出函数关系式。
3〕由〔2〕的函数关系式,利用二次函数的性质求收益的最大值,并求出最大值时x的值,确立销售单价。
【答案】解:〔1〕设件数为x,依题意,得3000-10〔x-10〕=2600,解得x=50。
答:商家一次购买这类产品50件时,销售单价恰巧为2600元。
2〕当0≤x≤10时,y=〔3000-2400〕x=600x;
当10<x≤50时,y=[3000-10〔x-10〕-2400]x,即y=-10x2+700x;当x>50时,y=〔2600-2400〕x=200x。
600x(0
x
,且
x
为整数
)
10
∴y
10x
2
700x(10<x
,且
为整数
)。
50x
,且
为整数
)
200x(x>50
x
〔3〕由y=-10x2+700x可知抛物线张口向下,当
x
700
2
35时,收益
10
y有最大值,此时,销售单价为
3000-10〔x-10
〕=2750元,答:企业应将最低销售单价调
整为2750元。
例4:某商品的进价为每件
50元,售价为每件
60元,每个月可卖出200件。假如每件商品
的售价上升1元,那么每个月少卖
10件〔每件售价不可以高于
72元〕。设每件商品的售价
上升x元〔x为整数〕,每个月的销售收益为
y元,
〔1〕求y与x的函数关系式,并直接写出
x的取值范围;
〔2〕每件商品的售价定为多少元时,每个月可获得最大收益?最大月收益是多少元?
【分析】〔1〕依据题意,得出每件商品的收益以及商品总的销量,即可得出
y与x的函数
关系式。〔2〕依据题意利用配方法得出二次函数的极点形式〔或用公式法〕,进而得
出当x=5时得出y的最大值。
【答案】解:〔1〕设每件商品的售价上升
x元〔x为正整数〕,那么每件商品的收益为:
〔60
-50+x〕元,总销量为:〔
200-10x〕件,
商品收益为:y=〔60-50+x〕〔200-10x〕=-10x2+100x+2000。
∵原售价为每件
60元,每件售价不可以高于
72元,∴0<x≤12。
2〕∵y=-10x2+100x+2000=-10〔x-5〕2+2250,
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∴当x=5
时,最大月收益y=2250。
答:每件商品的售价定为5
元时,每个月可获得最大收益,最大月收益是
2250元。
例5:市某生态示范村栽种基地方案用
90亩~120亩的土地栽种一批葡萄,
原方案总产量要
抵达36万斤.〔1〕列出原方案栽种亩数
y〔亩〕与均匀每亩产量
x〔万斤〕之间的函数关
系式,并写出自变量x的取值范围;〔
2〕为了知足市场需求,
后均匀每亩产量是原方案的
,总产量比原方案增添了
9万斤,栽种亩数减少了
20亩,
原方案和改良后的均匀每亩产量各是多少万斤?
【分析】〔1〕直接依据亩产量、亩数及总产量之间的关系获得函数关系式即可。
〔2〕依据题意列出
36
36
9
x
20后求解即可。
【答案】解:〔1〕由题意知:xy=36,∴
y
36
3
x
2
x
〔
〕。
36
36
9
10
5
〔2〕依据题意得:
20,解得:。
x
经查验:x=。。
答:改良前亩产
,改良后亩产
。
例6、小丁每日从某报社以每份

200分,此后以每份
1元卖给读者,报纸卖
不完,当日可退回报社,,假如小丁均匀每日卖出报纸
x份,
纯收入为y元.〔1〕求y与x之间的函数关系式〔要求写出自变量
x的取值范围〕;
〔2〕假如每个月以30天计算,小丁每日最少要买多少份报纸才能保证月收入不低于
2000元?
【分析】〔1〕由于小丁每日从某市报社以每份
,此后以每份
1元卖给
读者,报纸卖不完,当日可退回报社,但报社只按每份
,因此假如小丁均匀
每日卖出报纸x份,纯收入为
y元,那么y=〔1﹣〕x﹣〔﹣〕〔200﹣x〕即﹣
60,此中0≤x≤200且x为整数。〔2〕由于每个月以
30
天计,依据题意可得30〔﹣60〕≥2000,
解之求解即可。
【答案】解:〔1〕y=〔1﹣〕x﹣〔﹣〕〔200﹣x〕﹣60〔0≤x≤200〕。
2〕依据题意得:30〔﹣60〕≥2000,解得x≥1381。3
∴小丁每日最少要买159份报纸才能保证每个月收入不低于
2000元。
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三、几何问题中函数自变量的取值范围:几何问题中的函数关系式,除使函数式存心
义外,还需考虑几何图形的组成条件及运动范围,如在三角形中“两边之和大于第三边〞。
典型例题:
例1:,设所得两圆半径分
别为r1和r2.〔1〕求r1与r2的关系式,并写出r1的取值范围;〔2〕将两圆的面积和S表示
成r1的函数关系式,求S的最小值.
【分析】〔1〕由圆的周长公式表示出半径分别为r1和r2的圆的周长,再依据这两个圆周长
之和等于16π厘米列出关系式即可。〔2〕先由〔1〕可得r2=8﹣r1,再依据圆的面积公式即
可获得两圆的面积和
S表示成r1的函数关系式,此后依据函数的性质即可求出
S的最小值。
【答案】解:〔1〕由题意,有
2πr
。∵r1
>0,r>0,∴0<r<8。
1+2πr2=16π,那么r1+r2=8
2
1
∴r1与r2的关系式为r1+r2=8,r1的取值范围是
0<r1<8
厘米。
〔2〕∵r1+r2=8,∴r2=8﹣r1。
∵Sr2
+r2=
r2+
8r2
=2r216
r+64=2
r42
+32,
1
2
1
1
1
1
1
∴当r1=4厘米时,S有最小值32π平方厘米。
例2:如图,在边长为24cm的正方形纸片ABCD上,剪去图中暗影局部的四个全等的等腰
直角三角形,再沿图中的虚线折起,折成一个长方体形状的包装盒〔
正好重合于上底面上一点〕.E、F在AB边上,是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的
两个端点,设AE=BF=x〔cm〕.〔1〕假定折成的包装盒恰巧是个正方体,试求这个包装盒的体
积V;〔2〕某广告商要求包装盒的表面〔不含下底面〕面积S最大,试问x应取何值?
【分析】〔1〕依据得出这个正方体的底面边长a=2x,EF=2a=2x,再利用AB=24cm,
求出x即可得出这个包装盒的体积V。〔2〕利用表示出包装盒的表面,进而利用函数最值求出即可。
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【答案】解:〔1〕依据题意,正方体的底面边长a=2x,EF=2a=2x,∴x+2x+x=24,解
得:x=6。那么a=62,∴V=a3=〔62〕3=4322〔cm3〕;
〔2〕设包装盒的底面边长为acm,高为hcm,那么a=2x,
h
24
2x
212
x,∴S=4ah+a2=
2
2
2
。
4
2x
212x
2x
6x2
96x=6x8238
0<x<12,∴当x=8时,S获得最大值384cm2。
例3:〔2021上海市〕如图,在半径为2的扇形AOB中,∠AOB=90°,点C是弧AB上的一个动点〔不与点A、B重合〕OD⊥BC,OE⊥AC,垂足分别为D、E.
〔1〕当BC=1时,求线段OD的长;〔2〕在△DOE中能否存在长度保持不变的边?假如存在,请指出并求其长度,假如不存在,请说明原因;
〔3〕设BD=x,△DOE的面积为y,求y对于x的函数关系式,并写出它的定义域.
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【答案】解:〔1〕∵点O是圆心,OD⊥BC,BC=1,
∴BD=1
1。
2
BC=
又∵OB=2,OD=OB2
BD2
22
1
15。
2
2
2
2
〔2〕存在,DE是不变的。如图,连结
AB,那么AB=OB2+OA2
2
2。
∵D和E是中点,∴DE=1AB=
2
。
2
〔3〕∵BD=x,∴OD
4x2
。∵∠1=∠2,∠3=∠4,∠AOB=900。
∴∠2+∠3=45°。过
D作DF⊥OE,垂足为点
F。∴DF=OF=
4
x
2
2
。
由△BOD∽△EDF,得BD=OD,即
EF
DF
x=
4
x2
,解得EF=
1
x。∴OE=x+
4x2
。
EF
4
x2
2
2
2
∴y
1
14x2x+4x2
4x2+x4x2
2〕。
DFOE
2
2
2
=
〔0<x<
2
4
例4:如图,矩形OABC中,A〔6,0〕、C〔0,2〕、D〔0,3〕,射线l过点D且与x
轴平行,点P、Q分别是l和x轴正半轴上动点,知足∠PQO=60°.
〔1〕①点B的坐标是;②∠CAO=度;③当点Q与点A重合时,点P的坐标
为;〔直接写出答案〕〔2〕设OA的中心为N,PQ与线段AC订交于点M,能否存
在点P,使△AMN为等腰三角形?假定存在,请直接写出点P的横坐标为m;假定不存在,请
说明原因.〔3〕设点P的横坐标为x,△OPQ与矩形OABC的重叠局部的面积为S,试求S
与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围.
【分析】〔1〕①由四边形OABC是矩形,依据矩形的性质,即可求得点B的坐标:
∵四边形OABC是矩形,∴AB=OC,OA=BC,
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A〔6,0〕、C〔0,23〕,∴点B的坐标为:〔6,23〕。②由正切函数,即可求得∠CAO的度数:
∵tanCAO
OC=2
3=
3,∴∠CAO=30°。
OA
6
3
③由三角函数的性质,即可求得点P的坐标;如图:当点
Q与点A
重合时,过点
P作PE⊥OA于E,∵∠PQO=60°,D〔0,33〕,∴PE=33。
PE
3。∴OE=OA﹣AE=6﹣3=3,∴点P的坐标为〔3,3
3〕。
∴AE
tan600
2〕分别从MN=AN,AM=AN与AM=MN去分析求解即可求得答案:状况①:MN=AN=3,那么∠AMN=∠MAN=30°,
∴∠MNO=60°。
∵∠PQO=60°,即∠MQO=60°,∴点N与Q重合。∴点P与D重合。∴此时m=0。
状况②,如图AM=AN,作MJ⊥x轴、PI⊥x轴。
MJ=MQ?sin60°=AQ?sin600
〔OA
IQ
OI〕sin60
3〔3
m〕
2
又MJ
1AM=1AN=3,
2
2
2
∴
3〔3
m〕=3
,解得:m=3﹣3。
2
2
状况③AM=NM,此时M的横坐标是,
过点P作PK⊥OA于K,过点M作MG⊥OA于G,
∴MG=
3。∴QK
PK
33
3,GQ
MG
1。
2
tan600
3
tan600
2
∴KG=3﹣=,AG=1
。∴OK=2。∴m=2。
2
综上所述,点P的横坐标为m=0或m=3﹣3或m=2。
3〕分别从当0≤x≤3时,当3<x≤5时,当5<x≤9时,当x>9时去分析求解即可
求得答案。
【答案】解:〔1〕①〔6,2
3〕。
②30。③〔3,3
3〕。
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〔2〕存在。m=0或m=3﹣3或m=2。
3〕当0≤x≤3时,如图1,OI=x,IQ=PI?tan60°=3,OQ=OI+IQ=3+x;由题意
可知直线l∥BC∥OA,可得EF=
PE
=DC
3
1
,∴EF=
1〔3+x〕,此时重叠局部是
OQ
PO
DO
33
3
3
梯形,其面积为:
1
〕
4
3
4
3
S
S梯形EFQO
〔
EF
OQ
OC
〔
x
〕=
x43
2
3
3
3
当3<x≤5时,如图
2,
S
S梯形EFQOSHAQ
S梯形EFQO
1AH
AQ
2
43x43
3x32=
3x2133x
3。
3
2
2
3
2
当5<x≤9时,如图
3,
S
1
BE
OA
〕
OC
2
x
〕
〔
〔
2
312
3
=
23
。
3
x
123
当x>9时,如图4,
S1OA
AH
1618
3=543。
2
2
x
x
综上所述,S与x的函数关系式为:
4
3x4
30
x3
3
3x2
133x
3
3<x5。
S
2
3
2
2
3
1235<x
9
x
3
54
3
x>9
x
例5:如图,抛物线y=1x2
3x
9与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,连结BC、
2
2
AC.〔1〕求AB和OC的长;〔2〕点E从点A出发,沿x轴向点B运动〔点E与点A、B不重合〕,过点E作直线l平行BC,,△ADE的面积为s,
求s对于m的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;
〔3〕在〔2〕的条件下,连结CE,求△CDE面积的最大值;此时,求出以点E为圆心,与
BC相切的圆的面积〔结果保留π〕.
函数自变量取值范围确立方法
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