立体几何（高邮一中）.doc

,正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直,△是等腰直角三角形,
(I)求证:;
(II)设线段、的中点分别为、,求证: ∥
【解析】解法一:
因为平面ABEF⊥平面ABCD,BC平面ABCD,BC⊥AB,平面ABEF∩平面ABCD=AB,
所以BC⊥平面ABEF.
所以BC⊥EF.
因为⊿ABE为等腰直角三角形,AB=AE,
所以∠AEB=45°,
又因为∠AEF=45,
所以∠FEB=90°,即EF⊥BE.
因为BC平面ABCD, BE平面BCE,
BC∩BE=B
所以
(II)取BE的中点N,,MN,则MNPC
∴ PMNC为平行四边形,.
∵ CN在平面BCE内,PM不在平面BCE内,
∴ PM∥平面BCE.
解法二: 因等腰直角三角形,,所以
又因为平面,所以⊥平面,
所以
即两两垂直;如图建立空间直角坐标系,
(I) 设,则,
∵,∴,
从而
,
于是,
∴⊥,⊥
∵平面,平面,
∴
(II),从而
于是
∴⊥,又⊥平面,直线不在平面内,
故∥平面
2. 如图,四棱柱ABCD ­ A1B1C1D1中,A1A⊥底面ABCD,四边形ABCD为梯形,AD∥BC,且AD=,C,D三点的平面记为α,BB1与α的交点为Q.
(1)证明:Q为BB1的中点;
(2)求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比;
解析(1)证明:因为BQ∥AA1,BC∥AD,
BC∩BQ=B,AD∩AA1=A,
所以平面QBC∥平面A1AD,
从而平面A1CD与这两个平面的交线相互平行,
即QC∥A1D.
故△QBC与△A1AD的对应边相互平行,
于是△QBC∽△A1AD,
所以===,即Q为BB1的中点.
(2)如图1所示,连接QA,=h,梯形ABCD 的高为d,四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积分别为V上和V下,BC=a,则AD=2a.
图1
V三棱锥Q ­A1AD=×·2a·h·d=ahd,
V四棱锥Q ­ABCD=··d·=ahd,
所以V下=V三棱锥Q ­A1AD+V四棱锥Q ­ABCD=ahd.
又V四棱柱A1B1C1D1 ­ABCD=ahd,
所以V上=V四棱柱A1B1C1D1 ­ABCD-V下=ahd-ahd=ahd,故=.
,在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中,E,F,M,N分别是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中点,点P,Q分别在棱DD1,BB1上移动,且DP=BQ=λ(0<λ<2).
(1)当λ=1时,证明:直线BC1∥平面EFPQ.
(2)是否存在λ,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.
解:方法一(几何方法):
(1)证明:如图①,连接AD1,由ABCD­A1B1C1D1是正方体,知BC1∥AD1.
当λ=1时,P是DD1的中点,又F是AD的中点,所以FP∥AD1,所以BC1∥FP.
而FP⊂平面EFPQ,且BC1⊄平面EFPQ,故直线BC1∥平面EFPQ.
图①图②
(2)如图②,,F分别是AB,AD的中点,所以EF∥BD,且EF=BD.
又DP=BQ,DP∥BQ,
所以四边形P