有理数混合运算简便算法与技巧.pdf

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有理数运算是代数入门的重点,又是难点,是中学数学中一切运算的基础,怎样突
破这一难点,除了要正确理解概念和掌握运算法则外,还必须熟练有理数运算的一些技
巧和方法,一定要正确运用有理数的运算法则和运算律,从而使复杂问题变得较简单。
一、四个原则:
①整体性原则:乘除混合运算统一化乘,统一进行约分;加减混合运算按正负
数分类,分别统一计算,或把带分数的整数、分数部分拆开,分别统一计算。
②简明性原则:计算时尽量使步骤简明,能够一步计算出来的就同时算出来;运算
中尽量运用简便方法,如五个运算律的运用。
③口算原则:在每一步的计算中,都尽量运用口算,口算是提高运算率的重要方法
之一,习惯于口算,有助于培养反应能力和自信心。
④分段同时性原则:对一个算式,一般可以将它分成若干小段,同时分别进行运
算。
二、运算技巧
①归类组合:运用交换律、结合律归类加减,将同类数(如正数或负数)归类计算,
如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等。
例:计算:-(.)-(-)+.-()
解法一:-(.)-(-)+.-()
=(-.+.)+(-)
=.-
=-
解法二:-(.)-(-)+.-()
=-.++.-
=(+-)+(-.++.-)=-
评析:解法一是小数与小数相结合,解法二整数与整数结合,这样解决了既含分数
,应学会灵活选择解题方法.
②凑整:将相加可得整数的数凑整,将相加得零的数(如互为相反数)相消。
将相加可得整数的数放在一起进行运算(其中包括互为相反数相加),可以降低解题
难度,提高解题效率.
例:计算:.
分析:本题六个数中有两个是同分母的分数,有两个互为相反数,有两个相加和为
整数,故可用“凑整”法。
解:原式()()(.)


例:计算:+++
解:+++
=-+-+-+-
=(+++)-
=-
=.
③分解:将一个数分解成几个数和的形式,或分解为它的因数相乘的形式。
例:计算:

解:原式





例:计算:。
解:原式

例:计算×-×.

解:×-
=(+)×-(-)×
=(-)+(+)
=
评析:对于这些题目结构复杂,长度较大的数,
题要根据题目的结构特点,找出拆项规律,灵活巧妙地把问题解决.
④约简:将互为倒数的数或有倍数关系的数约简。

例:计算:....

...
解:原式
.
⑤倒序相加:利用运算律,改变运算顺序,简化计算。
例:计算
解:设A,把等式右边倒序排列,得
A
将两式相加,得
A()()()
即A,所以A=
所以原式=
⑥裂项相消法:凡是带有省略号的分数加减运算,可以用这种方法
例:
解:应用关系式来进行“拆项”。
原式
⑦正逆用运算律:正难则反,逆用运算定律以简化计算。
乘法分配律a(b+c)=ab+,ab+ac=a(b+c)同样成立,
有时逆用也可使运算简便。
在处理有理数的数字运算中,若能根据题目所显示的结构、关系特征,对此加以灵
活变形,便可巧妙地逆用分配律,使解题简洁明快.
例:计算:.×+.×.+.×.
解:.×+.×.+.×=.×+(.×)×.+.
×
=.×+.×+.×
=.×(++)
=.
评析:很明显,灵活变形,逆用分配律,减少了运算量,提高了解题效率.
⑧变序
在有理数的运算中,适当改变运算顺序,有时可以减少运算量,在具体运算过程中,
技巧是恰到好处地运用交换率、结合律和分配律等运算律简化运算.

例:计算:..


解:原式..

。
例:计算:[+(-)]+[(-)+]
解:[+(-)]+[(-)+]
=+(-)+(-)+
=[+]+[(-)+(-)]
=+(-)
=
评析:
在运算前,首先观察、分析参与运算的数的特征、排列顺序等,适当交换一下各数
的位置,达到简化运算、快速解题的目的.
同步练习题:
.计算:

.已知为数轴的原点,A、B两点对应的数分别为、,设P为AB的中点,P为AP
的中点,…,P为P的中点,求P,P,P,…,P所对应的各数之和。
.计算:.
(分析:本题六个数中有两个是同分母的分数,有两个互为相反数,有两个相加和
为整数,故可用“凑整”法。)
.求和
()()()()
(分析:由加法交换律和结合律将分母相同的数结合相加,可改变原式繁难的计
算。)
.计算:()

同步练习题:
.计算:
.计算:



.计算:

.计算:...
同步练习题参考答案:
.解法:
原式
()()()()解法
×
:()

原式
.解:设对应的数为a(i),则a,i,,
iii

所以,aaa

.解:原式
.解:原式
()()()
()
.解:原式()×
×
=[()()()()()]
=()
=
=
同步练习题参考答案:
.解:设a()
则a()
则()()得:a
即
(含整体思想)
.解:令a,b,
则原式(a)b(b)aba
.解:令=a,则
a
原式=
(a)(a)
.解:设A...,把等式右边倒序排列,得
A...
将两式相加,得
A()()...()
即A,∴A
∴原式=