函数方程的柯西解法.doc

在函数方程的发展史上,许多函数方程的建立和解法都是由柯西首先提出的. 本节我们就来研究函数方程的柯西解法.
在前几节讨论的函数方程中,所涉及的函数大多数是自然数的函数. 而本节中的函数,它的定义域都是在某一区间上的实数.
柯西解法的步骤是:依次求出对于自变量的所有自然数值、整数值、有理数值,直至所有实数值的函数方程的解.
如所周知,一个函数方程的解往往并不是唯一的. 也就是说,可能存在着不同的函数,满足同一个函数方程. 为了保证函数方程的解的唯一性,通常需要给所求的函数附加一些条件,例如要求所求的函数必须是连续的,或者必须是单调的. 在本节里,要求函数方程的解都必须是单调函数.
什么是单调函数呢?如果对于较大的自变量的值,函数值也较大;即当时,有,就是说函数单调增加. 如果对于较大的自变量的值,函数值反而较小;即当时,有,就说函数单调减小. 单调增加和单调减小的函数,统称单调函数.
在后面的讨论中,我们还要用到区间套原理. 这个原理是这样的:
设有一个区间序列:
(78)
其中每个区间都包含着后一个区间:
(其中是集的包含符号)形成一个“区间套”,而且区间长度可以任意地小(就是说,不论我们事先给定一个多么小的正数ε,序列(78)中总存在这样一个区间,从此以后所有的区间的长度都小于ε). 那末,必定存在着唯一的一个点ξ,被所有(无穷多)这些区间所包含.
特别是当ξ是无理数时,如果把和取作ξ的精确到10-n的不足近似值和过剩近似值. 那末以ξ的不足近似值和过剩近似值为端点,将构成一个区间套. 相应的区间的长度是10-n. 例如,我们知道,圆周率π是一个无理数:
于是,可以构成区间套
-=10-1,-=10-2,-=10-3,…. 我们注意到,每个区间的端点都是有理数,而只有唯一的一个无理数α=π被包含在所有这些区间之内.
有了这些准备之后,我们转入函数方程的柯西解法的讨论.
[例19] 解函数方程
(79)
解由函数方程(79)容易推得(用数学归纳法):
(80)
在(80)中如果令,就得到
再令(m是正整数),又有
所以
记常数f (1)=c. 于是对于任何正有理数x>0,都有
(81)
当自变量的值为零时,即令x=y=0,由函数方程(79),有
∴
这就是说,对于自变量的值为零的情形,函数方程(79)的解也是(81).
对于自变量为负数的情形,如x为负有理数,可设于是有
所以
总之,对于自变量的任何有理数值x=r,函数方程(79)的解都是(81):
(82)
现在来讨论自变量是无理数的情形. x=ξ(ξ是无理数). 设ξ的精确到小数点后第i位的不足近似值和过剩近似值是. 根据f (x)的单调性(为确定起见,不妨设f (x)是单调增加的),推知
(83)
因为由
又得
由于,是有理数,由(83)得
(84)
比较(83)和(84),看出和处于同一个区间套之内. 根据区间套原理,只有一个点为所有区间套公有,得知
=. (85)
综合(82)和(85),即得:对于任何实数x,函数方程(79)的解是正比例函数
[例20] 解例2中的函数方程
(9)
并求出由摄氏温度换算为华氏温度的关系式.
解在函数方程(9)中,令y=0,就有
或者
(86)
用数学归纳法可以证明,
事实上,设n=k时,方程(87)成立,即设
于是有
根据(86),得
就是说,对于n=k+1,方程(87)仍然成立. 又当n=2时,显然有
这就证明了由函数方程(9)可以推出函数方程(87).
在(87)中,令,即得
(88)
又令(m是正整数),则有
就是
但由(88)知
代入上式即得
因而
记最后有
(89)
当x=0时,显然有
(90)
如果令,就有
所以
总之,由(89),(90),(91)得,对于任何有理数x=r,函数方程(9)的解是
现在,讨论自变量是无理数的情形:x=ξ(ξ是无理数). 设ξ的精确到小数点后第i位的不足近似值和过剩近似值是αi和βi. 根据f (x)的单调性[不妨假定f (x)是单调增加的. 单调减小情形的论证类似]推知,
(93)
同样根据单调增加性,得知
所以由
可得
而由于,是有理数,所以(93)又可写成
(94)
(93)和(94)表明和处于同一个区间套之内. 根据区间套原理,就有
=. (95)
综合(92),(95),可知对于任何实数x,函数方程(9)的解是一次函数
(96)
现在来求由摄氏温度换算为华氏温度的关系式.
由(10)知
此外,由(10)还知
所