22常见函数附思维导图.pdf

该【22常见函数附思维导图 】是由【马克里思】上传分享，文档一共【19】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【22常见函数附思维导图 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。:.
--常见函数(附思维导图)
一、一次函数和常函数:
思维导图:
1:.
(一)、一次函数(二)、常函数
定义域:(-∞,+∞)定义域:(-∞,+∞)
值域:(-∞,+∞)正k=0反值域:{b}
解析式:y=kx+b(k≠0)解析式:y=b(b为常数)
图像:一条与x轴、y轴相交的直线图像:一条与x轴平行或重合的直线
yb>0b=0b<0yy
b>0
ox0xoxb=0
b<0b=0b>0b<0
K>0k<0
单调性:k>0,在(-∞,+∞)↑单调性:在(-∞,+∞)上不单调
k<0,在(-∞,+∞)↓
奇偶性:b0奇函数奇偶性:偶函数
b0非奇非偶
周期性:非周期函数周期性:周期函数,周期为任意非零实数
反函数:在(-∞,+∞)上有反函数反函数:在(-∞,+∞)上没有反函数
反函数仍是一次函数
例题:
2:.
二、二次函数
1、定义域:(-∞,+∞)
4acb2
2、值域:a0,y[,)
4a
4acb2
a0,y(,]
4a
3、解析式:yax2bxc(a0)
3:.
4、图像:一条开口向上或向下的抛物线
正负:a0,开口向上;a0,开口向下
a
绝对值:随着a增大,开口缩小
c0,与y正半轴相交
c
c0,与y负半轴相交
bb4acb2
对称轴:对称轴:x;顶点:(,)
2a2a4a
b24ac图像与x轴交点个数:与x轴交点的个数。
0,两个交点0,一个交点0,无交点
5、单调性:bb
a0,(,][,)
2a2a
bb
a0,(,][,)
2a2a
6、奇偶性:b0偶函数
7、周期性:非周期函数
8、反函数:在(-∞,+∞)上无反函数,
bb
在(,]或[,)上及其子集上有反函数
2a2a
例题:
4:.
三、反比例函数和重要的分式函数
cxd
(一)、反比例函数(二)、分式函数y
axb
bb
定义域:(-∞,0)∪(0,+∞)定义域:(,)(,)
aa
cc
值域:(-∞,0)∪(0,+∞)值域:(,)(,)
aa
cxdb
解析式:k解析式:y(x)
f(x)(k0)
xaxba
bc
图像:以x轴、y轴为渐进线的双曲线图像:以x和y为
aa
渐近线的双曲线
5:.
yy
0x0x
k>0k<0
bb
单调性:k>0,(-∞,0)↓,(0,+∞)↓单调性:在(,)和(,)上
aa
k<0,(-∞,0)↑,(0,+∞)↑单调性相同
奇偶性:奇函数奇偶性:非奇非偶
bc
对称性:关于原点对称对称性:关于点(,)成中心对称
aa
周期性:非周期函数周期性:非周期函数
反函数:在定义域上有反函数,反函数:在定义域有反函数,
bxdc
反函数是其本身。反函数是y(x)
axca
kk
(三)、f(x)x(k0)(四)、f(x)x(k0)
xx
定义域:(-∞,0)∪(0,+∞)定义域:(-∞,0)∪(0,+∞)
值域:值域:(-∞,+∞)
(,2k)(2k,)
图像:图像:
(,k),(k,0)
单调性:单调性:(-∞,0)↑(0,+∞)↑
(0,k),(k,)
奇偶性:奇函数奇偶性:奇函数
对称性:关于原点对称对称性:关于原点对称
6:.
四、指数函数、对数函数和幂函数
(一)、指数和对数运算及性质:
7:.
1、根式
过去,我们已经学习了整数指数幂的概念及其性质:
整数指数幂概念整数指数幂运算性质
an=aaa(n∈N*)(1)aman=am+n(m,n∈Z)

n个a
a0=1(2)(am)n=am·n(m,n∈Z)
1
a-n=(3)(ab)n=an·bn(n∈Z)
an
因为am÷an可看作am·a-n,所以am÷an=am-n可以归入性质(1);
aaan
又因为()n可看作an·b-n,所以()n=可以归入性质(3).
bbbn
现在我们来研究如何用幂表示底数。
(1)、n次方根的定义:若xn=a(n>1且n∈N*),则x叫a的n次方根.
问题:x如何用a表示呢?
【平方根】偶次方根有下列性质:
在实数范围内,正数的偶次方根有两个且互为相反数,负数没有偶次方根;
【立方根】奇次方根有下列性质:
在实数范围内,正数的奇次方根是正数,负数的奇次方根是负数.
(2)、n次方根的性质:
na,n2k1
x(kN*),其中na叫根式,n叫根指数,a叫被开方数.
na,n2k
(3)、根式的运算性质
a,n为奇数
①((na)na)②nan

|a|,n为偶数
性质①推导过程:
当n为奇数时,x=na,由xn=a得(na)n=a;
当n为偶数时,x=±na,由xn=a得(na)n=a;
综上所述,可知:(na)n=a.
性质②推导过程:
当n为奇数时,由n次方根定义得:
a=nan;
当n为偶数时,由n次方根定义得:a=±nan
则|a|=|±nan|=nan
8:.
a,n为奇数;
综上所述:nan=

|a|,n为偶数.
例1、求下列各式的值
(1)3(8)3(2)(10)2
(3)4(3)4(4)(ab)2(a>b)
解:(1)3(8)3=-8
(2)(10)2=|-10|
(3)4(3)4=|3-π|=π-3
(4)(ab)2=|a-b|=a-b(a>b)
例2、求值:
(1)526743642;
(2)23612
分析:(1)题需把各项被开方数变为完全平方形式,然后再利用根式运算性质;
解:
(1)526743642
(3)223•2(2)222223(3)222222(2)2
((32))2(23)2(22)2
|32||23||22|
3223(22)
22
注意:此题开方后先带上绝对值,然后根据正负去掉绝对值符号。
(2)23612
3
=2336223
2
32
=263366223
22
32
=2633223
22
=236
2、分数指数幂
(1).正数的正分数指数幂的意义
9:.
m
annam(a0,m、nN*,n1)
(2).规定:
m1

(1)an(a0,m、nN*,n1)
m
an
(2)0的正分数指数幂等于0.
(3)0的负分数指数幂无意义.
规定了分数指数幂的意义以后,
a>0时,整数指数幂的运算性质,>0,p是
一个无理数,则ap表示一个确定的实数,上述有理指数幂的运算性质,对于无
理数指数幂都适用,有关概念和证明在本书从略.
即对于任意实数r,s,均有下面的运算性质.

(1)amanamn(a0,m、nR)
(2)(am)namn(a0,m、nR)
(3)(ab)mambm(a0,b0,mR)
例:求下列各式的值:
32
(1)252(2)273
363253

(3)()2(4)()2
494
2
4
(5)8193(6)23××612
33
解:(1)252(52)2=53=125
223
3
(2)273(33)332=32=9
3636363663216
2
(3)()2[()2]2()2()3
4977773343
253535352238
2233
(4)()2[()]2()2()()
4222553125
22121221
44424
(5)819334[(32)3]2343323433(3433)4
10:.
1211
=(34)4(33)4336363
13111111
(6)23××612=2×32×()3×(3×22)6=2×32×33×23×36×
2
**********
1
23=(2×23×23)×(32×33×36)=233×3236=2×3=6
3、对数运算及运算性质:
引例:假设1995年我均增长8%,那
么经过多少年国民生产总值是1995年的2倍?
设:经过x年国民生产总值是1995年的2倍
则有a(1+8%)x==2
用计算器或计算机作出函数图像,计算出x值
这是已知底数和幂的值,求指数的问题。即指数式ab=N中,已知a和N
求b的问题。(这里a>0且a≠1)
(1).定义:
一般地,如果a(a>0且a≠1)的b次幂等于N,就是ab=N,那么数b
叫做a为底N的对数,记作logN=b,a叫做对数的底数,N叫做真数。
a
(2)、指数式和对数式的互换:
ab=N+-logN=b
a
例如:42=16log16=2;102=100log100=2
410
11
42=2log2=;10-2==-2
4210
(3)、对数的性质
①、负数与零没有对数←在指数式中N>0
②、log10,loga1(a0,a1)
aa
∵对任意a>0且a≠1,都有a0=1∴log1=0
a
同样易知:loga=1
a
③、对数恒等式:alogaNN(a0,a1)
如果把ab=N中的b写成logN,则有alogaN=N
a
11:.
④、指数恒等式:logabb(a0,a1)
a
⑤、常用对数
我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。
为了简便,N的常用对数logN,简记为lgN
10
例如:.
1010
⑥、自然对数
在科学技术中常常使用以无理数e=……为底的对数,以e为
底的对数叫自然对数,为了简便,N的自然对数logN,简记为lnN。
e
例如:log3简记作ln3log10简记作ln10
ee
(4).运算性质:若a>0,a≠1,M>0,N>0,则
(1)logMNlogMlogN;
aaa
M
(2)loglogMlogN;
aNaa
(3)logMnnlogM(nR)
aa
【现在我们来证明运算性质,为了利用已知的幂的运算性质,应将对数形式根据对数的
定义转化为指数形式,因此需要引进中间变量,起一定的过渡作用】.
证明:(1)设logM=p,logN=q
aa
由对数的定义得:M=ap,N=aq∴MN=ap·aq=ap+q
再由对数定义得logMN=p+q,即证得logMN=logM+logN
aaaa
(2)设logM=p,logN=q由对数的定义可以得
aa
Map
M=ap,N=aq,∴==ap-q,
Naq
M
再由对数的定义得log=p-q
a
N
M
即证得log=logM-logN
aaa
N
(3)设logM=p由对数定义得M=ap
a
∴Mn=(ap)n=anp再由对数定义得
12:.
logMn=np即证得logMn=nlogM
aaa
例:计算:
7lg243lg27+lg8-3lg10
(1)lg14-2lg+lg7-lg18(2)(3)

7
【解析】(1)、解法一:lg14-2lg+lg7-lg18=lg(2×7)-2(lg7-lg3)+lg7-lg(32×2)
3
=lg2+lg7-2lg7+2lg3+lg7-2lg3-lg2=0
77
解法二:lg14-2lg+lg7-lg18=lg14-lg()2+lg7-lg18
33
14×7
=lg=lg1=0
7
()2×18
3
lg243lg355lg35
(2)===
lg9lg322lg32
11
lg27+lg8-3lg10lg(33)2+lg23-3lg(10)2
(3)=
×22
lg
10
3
(lg3+2lg2-1)
23
==
lg3+2lg2-12
(5).对数换底公式:
logN
logNm(a0且a1,m0且m1,N0)
aloga
m
证明:设logN=x,则ax=N
a
两边取以m为底的对数:logax=logNxloga=logN
mmmm
logNlogN
从而得:x=m∴logN=m
logaaloga
mm
两个常用的推论:
①logbloga1
ab
n
②logbnlogb(a、b0且均不为1)
amma
lgblga
证:①logb·loga==1
ablgalgb
lgbnnlgbn
②logbn===logb
amlgammlgama
例:设x、y、z∈(0,+∞)且3x=4y=6z
111
1求证+=;2比较3x,4y,6z的大小
x2yz
13:.
证明1:设3x=4y=6z=k∵x、y、z∈(0,+∞)∴k>1
lgklgklgk
取对数得:x=,y=,z=
lg3lg4lg6
11lg3lg42lg3+lg42lg3+2lg2lg61
∴+=+====
x2ylgk2lgk2lgk2lgklgkz
64
lgk·lg
34lg64-lg8181
23x-4y=(-)lgk=lgk=<0
lg3lg4lg3lg4lg3lg4
∴3x<4y
9
lgk·lg
46lg36-lg6416
又4y-6z=(-)lgk=lgk=<0
lg4lg6lg2lg6lg2lg6
∴4y<6z∴3x<4y<6z
(二)、指数函数、对数函数和幂函数
已知abN,我们从函数的角度分别研究这三者之间的关系:
关系一:N如何随着b的变化而变化→以指数为自变量、以幂为因变量的函数→指数函数;
关系二:N如何随着a的变化而变化→以底数为自变量、以幂为因变量的函数→幂函数;
1
关系三:a如何随着b的变化而变化→abNNb(指数为自变量、幂为因变量)
→指数函数;
+—
关系四:b如何随着N的变化而变化→blogN(以真数为自变量、以对数为因变量)
a
→对数函数;
1
关系五:a如何随着N的变化而变化→abNNb(以底数为自变量、幂为因变量)
→指数函数
关系六:b如何随着a的变化而变化→blogN;
a
定义:函数yax(a0,a1)叫做指数函数,其中x是自变量。
函数ylogx(a0,a1)叫做对数函数。
a
函数yx(为常数)叫做幂函数,其中x是自变量。
14:.
1、指数函数2、对数函数
定义域:(-∞,+∞)定义域:(0,+∞)
值域:(0,+∞)值域:(-∞,+∞)
解析式:f(x)ax(a0且a1)解析式:f(x)logx(a0且a1)
a
图像:位于x轴上方,向x轴无限接近图像:位于y轴右侧,向y
15:.
轴无限接近
yyyy
11
0x0x01x01x
a10a1a10a1
【特殊点】恒过(0,1),(1,a)【特殊点】恒过(1,0),(a,1)
【y=1】【x=1】
a10a1a10a1
yax1或ylogx0或
x0x0ax10x1
a10a1a10a1
yax1或ylogx0或
x0x0a0x1x1
【底数的大小】y【底数的大小】
ycxydxyaxybxyylogx
a
ylogx
b
x
0x0ylogx
c
ylogx
d
0dc1ba0dc1ba
单调性:a1,在(,)单调性:a1,在(0,)
0a1,在(,)0a1,在(0,)
奇偶性:无奇偶性:无
周期性:无周期性:无
反函数:ylogx(a0,a1)反函数:yax(a0,a1)
a
3、幂函数yx(为常数)
问题1:我们知道,,再指
,观察它们的图象,看有什么共同点?
1124
(1)y=x2;(2)y=x3;(3)y=x3;(4)y=x3.
思路:先将各式化为根式形式,函数的定义域就是使这些根式有意义的实数x的集合;
奇偶性直接利用定义进行判断.(1)定义域为[0,+),(2)(3)(4)定义域都是
16:.
R;其中(1)既不是奇函数也不是偶函数,(2)是奇函数,(3)(4)
图象都经过点(0,0)和(1,1),且在第一象限内函数单调递增.
问题2:仿照问题1研究下列函数的定义域和奇偶性,观察它们的图象看有什么共同点?
11
--
(1)y=x-1;(2)y=x-2;(3)y=x2;(4)y=x3.
思路:先将负指数幂化为正指数幂,再将分数指数幂化为根式,函数的定义域就是使这
些分式和根式有意义的实数x的集合;(1)(2)(4)的定义域都是{x|x≠0},(3)的定
义域是(0,+);(1)(4)是奇函数,(2)是偶函数,(3)既不是奇函数也不是偶
(1,1),且在第一象限内函数单调递减,并且以两坐标轴为渐
近线.
总结:研究幂函数时,通常先将负指数幂化为正指数幂,再将分数指数幂化为根式(幂
指数是负整数时化为分式);
使这些分式和根式有意义的实数x的集合;
和问题2中的这些幂函数我们要记住它们图象的变化趋势,有利于我们进行类比.
【五个重要的幂函数】:
1
(1)yx;(2)yx2;(3)yx2;(4)yx1;(5)yx3.
yx1
yx2yx3yx1
yx2
定义域
值域
奇偶性
单调性
定点
【幂函数性质】.
(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1);
17:.
(2)0时,幂函数的图象通过原点,并且在区间[0,),当
1时,幂函数的图象下凸;当01时,幂函数的图象上凸;
(3)0时,幂函数的图象在区间(0,),当x从右边
趋向原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴,当x趋于时,图象在x轴上方
无限地逼近x轴正半轴.
2
[例1]讨论函数y=x5的定义域、值域、奇偶性、单调性,并画出图象的示意图.
2
思路:函数y=x5是幂函数.
25
(1)要使y=x5=x2有意义,x可以取任意实数,故函数定义域为R.
(2)∵xR,∴x2≥0.∴y≥0.
552
(3)f(-x)=(-x)2=x2=f(x),∴函数y=x5是偶函数;
22
(4)∵n=>0,∴幂函数y=x5在[0,+]上单调递增.
5
2
由于幂函数y=x5是偶函数,
2
∴幂函数y=x5在(-∞,0)上单调递减.
(5)其图象如右图所示.
[例2]比较下列各组中两个数的大小:
3322

(1),;(2),;(3)(-)3,(-)3.
3
解析:(1)考查幂函数y=x5的单调性,在第一象限内函数单调递增,
33
∵<∴<
3
(2)考查幂函数y=x2的单调性,>.
(3)先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数,
222222

∵(-)3=,(-)3=,>
22

∴(-)3>(-)3
点评:比较幂形式的两个数的大小,一般的思路是:
(1)若能化为同指数,则用幂函数的单调性;
(2)若能化为同底数,则用指数函数的单调性;
18:.
(3)若既不能化为同指数,也不能化为同底数,则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比
较大小.
21
[例3]求函数y=x5+2x5+4(x≥-32)值域.
1
解析:设t=x5,∵x≥-32,∴t≥-2,则y=t2+2t+4=(t+1)2+3.
当t=-1时,y=3.
min
21
∴函数y=x5+2x5+4(x≥-32)的值域为[3,+∞).
点评:这是复合函数求值域的问题,应用换元法.
19