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第一节单因素试验的方差分析
第九章方差分析
在生产过程和科学实验中,我们经常遇到这样的问题:影响产品产量、,在化工生产中,影响结果的因素有:配方、设备、温度、压力、催化剂、、(Analysis of variance),可以成功地应用在试验工作的很多方面.
第一节单因素试验的方差分析
在试验中,我们将要考察的指标称为试验指标,,一类是人们可以控制的;,原料成分、反应温度、溶液浓度等是可以控制的,而测量误差、,,这样的试验称为单因素试验,如果多于一个因素在改变,就称为多因素试验.
本节通过实例来讨论单因素试验.
℃后,投入到20℃的水中急冷,这样反复进行到试件断裂为止,试验次数越多,-1.
表9-1
试验的目的是确定4种生铁试件的抗热疲劳性能是否有显著差异.
这里,试验的指标是钢锭模的热疲劳值,钢锭模的材质是因素,4种不同的材质表示钢锭模的4个水平,这项试验叫做4水平单因素试验.
考察一种人造纤维在不同温度的水中浸泡后的缩水率,在40℃,50℃,…,90℃?
1
表9-2 (%)
单因素试验的一般数学模型为:因素A有s个水平A1,A2,…,As,在水平Aj(j=1,2,…,s)下进行nj(nj≥2)次独立试验,得到如表9-3的结果:
表9-3
Aj(j=1,2,…,s)下的样本xij~N(μj,ζ),i=1,2,…,nj,j=1,2,…,s,且相互独立.
假定:各水平
故xij-μj可看成随机误差,它们是试验中无法控制的各种因素所引起的,记xij-μj=εij,则
?xij=μj+εij,i=1,2, ,nj;j=1,2, ,s,?2
() ?εij~N(0,σ),
?各ε相互独立.
ij?
其中μj与ζ2均为未知参数.()式称为单因素试验方差分析的数学模型.
方差分析的任务是对于模型(),检验s个总体N(μ1,ζ2),…,N(μs,ζ2)的均值是否相等, 即检验假设
?H0:μ1=μ2= =μs;
() ?
H:σ,σ, ,?1
为将问题()写成便于讨论的形式,采用记号
μ=
1n
s
∑
j=1
njμj,
s
其中n=∑nj,μ表示μ1,μ2,…,μs的加权平均,μ称为总平均.
j=1
δj=μj-μ, j=1,2,…,s,
,模型()可改写成:
2
xij=μ+δj+εij,
xij可分解成总平均、水平Aj的效应及随机误差三部分之和
?
?∑njδj=0,
()′?j=1
?ε~N(0,σ2),=1,2, ,n;j=1,2, ,s.
ijj?ij
s
假设()等价于假设
?H0:δ1=δ2= =δs=0;
()′?
?H1:δ1,δ2, ,δs不全零.

我们寻找适当的统计量,,导出假设检验()′
s
nj
ST=∑
1
s
nj
∑(x
ij
-), ()
2
j=1i=1
这里=
∑∑n
xij,.
nj
j=1i=1
Aj下的样本均值?j=注意到
1nj
∑
i=1
xij. ()
(xij-)=(xij-?j+?j-)=(xij-?j)+(?j-)+2(xij-?j)(?j-),
s
nj
ij
s
2222
而
∑∑(x
j=1i=1
-?j)(?j-)=
∑(j=1s
?j
?j?
-)?∑(xij-?j)?