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数学证明方法
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数学证明方法
数学证明方法
纲要:数学证明是数学学习中特别重要的一部分,数学证明有核实作用,理解作用,发现作用和思想训练作用,数学证明常用的方法有综合法、剖析法、反证法、数学概括法等等。
重点词:数学证明;意义;方法
数学是研究现实世界空间形式和数目关系的科学,它的应用特别宽泛,
是学习现代科学技术必不行少的基础学科。学习数学,就离不开数学证明,
这是由数学证明在数学发展中所起的作用决定的。什么是数学证明呢?很多
人以为数学证明是依据相应的公义,法例等来说明结论是正确的一种活动。
数学证明是数学学习中特别重要的一部分,在不一样的情境中,数学证明有不
同方法。
数学证明的方法
(一)综合法和剖析法
综合法是从命题的条件出发,经过逐渐的逻辑推理,最后达到要证的结论的
方法。剖析法例是从要证的结论出发,一步一步的搜寻下去,最后达到命题
的已知条件的方法。
1cos
sin
例1求证sin=1
cos
sin2
sin
方法1:左侧=sin
(1
cos
)=1
cos
=右侧
所以得证。
sin
sin
(1cos)
sin
(1cos)
方法2:右侧=1
cos
=(1
cos
)(1
cos)=
1
cos2
sin
(1
cos)
1
cos
=
sin2
=
sin
=左侧
所以得证。
1cos
sin
方法3:sin
==tan2==1cos
所以得证。
1
cos
sin
方法4:要证
sin
=1cos只需要证(1cos)(1cos)sinsin
即要证1cos2
sin2
,明显,这个命题建立,故得证。
上述例题的四种解法中,前三种是用综合法解的,而第四种解法是用剖析法解的。在证明的过程中,我们用到了同角三角函数的关系,半角公式等等。所以,经过数学证明我们不单理解了这道命题的正确性,还知道了为何正确,同时还增进了对同角三角函数的关系,半角公式等等的理解。
从例1我们能够看出,综合法的特色是从“已知”逐渐推向“未知”,其逐渐推理,实质是要找寻它的必需条件。剖析法的特色是从“需知”逐渐聚拢“已知”,其逐渐推理,其实是要找寻它的充足条件。
综合法和剖析法各有其优弊端。从追求解题思路来看,综合法是由已知的找寻未知的,即直接由条件证明结论。可是由条件简单导出很多其余的结论,因此不简单有效。剖析法由未知的推向已知的,即由结论慢慢推出所需要的条件,这样比较简单解决问题。就表述证明的过程而论,综合法的形式比较简短,条理清楚,剖析法因为倒过来表达,因此比较繁琐,文辞冗长。这也
就是说,剖析法有益于思虑解决问题,综合法宜于表达问题。所以在解题时,能够把剖析法和综合法联合起来使用,先以剖析法为主,找寻解题思路,再
用综合法有条理的表述证明过程。
(二)反证法
经过证明论题的否认命题不真切,进而一定论题真切性的方法叫做反证法。
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反证法的一般步骤以下:
假定数题的结论不建立,即结论的否认命题建立。
从否认的结论出发,逐层进行推理,得出与公义或前述的定理,定义或题设条件等自相矛盾的结论,即说证明结论否认不建立。
据排中律,最后一定原命题建立。
反证法有归谬法与穷举法两种。在应用反证法时假如与原命题结论相矛盾的方面只有一种可能状况,只需把这类状况颠覆,就能一定结论建立,这类反证法叫做归谬法。假如与原命题相矛盾的方面不只一种状况,就一定把矛盾方面的全部可能的状况一一驳斥,才能一定结论建立,这类反正法叫做穷举法。
例2求证
2是无理数。
p
p
2
证明:假定
2是有理数,且为既约分数q
,(p>0,q>0),则q
2
=2,p2
2q2
,
p
因而可知p是偶数,记为2r。同理又可得q也是偶数,这与q是既约分数相
矛盾。进而2是无理数。
在这道题目中,2只有两种可能,是无理数或许不是无理数。所以,命题的否认方面只有一种可能状况。因此,我们能够假即设其为有理数,而后推出矛盾证得该题。
例3在四边形ABCD中,对角线AC和BD订交于点O,已知OB=OD,
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BADBCD。
求证:四边形ABCD是平行四边形。

CD
C'
O
BA
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证明:如图,假定四边形ABCD不是平行四边
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形,则因为OB=OD,所以必有OAOC,即OA<OC或OA>OC。
若OA<OC,在OC上取一点C',使得OC'=OA,则C'必在OC上,连C'B,C'D。
则有四边形
ABC'D为平行四边形。则
BAD
BC'D
BC'OOC'D又
BC'O
BCO
,OC'DOCD,
BAD
BCO
OCDBCD,与
BAD
BCD矛盾。
假如OA
OC,同理可证,这也是不行能的。
所以,四边形ABCD是平行四边形。
在该题中,命题的否认方面有两种可能OA<OC或OA>OC。所以,在利用反证法证明时要把这两种否认状况都驳斥才能够。
经过这道题的证明,能够增进人们对平行四边形特色的理解,使自己的思想更为谨慎,周密。
反证法是一种重要的证明方法,不只在初等数学中有好多的应用,就是在高
等数学中也有着很重要的应用,数学中的一些重要的结论,从最基本的性质,定理到某些难度较大的世界难题,常常是用反证法获得的。
在证明该题的过程中,用到了勾股定理,全等三角形的知识。所以,经过该题,也能够令人们增强对勾股定理以及三角形全等方面的知识的理解。
需要指出的是,同一法和反正法的合用范围是不一样的,同一法的限制性较大,往常只合用于切合同一原理的命题,反证法例广泛合用,关于能够用同一法证明的命题一般都能用反证法证明。
(三)数学概括法
我们采纳记号p(n)表示一个与自然数n相关的命题,把它们都写出来p(1),
p(2),p(3)
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事实上,假如知足下边两个条件:
1)p(1)建立(即当n1时命题建立)
2)只需假定p(k)建立(概括假定),由此便可得p(k1)也建立(k是自然
数)就能保证这一大串(无数多个)命题p(1),p(2),p(3)都建立。
我们把此叫做数学概括法原理。
依据数学概括法原理,我们在证明时能够相应的依据以下两步进行:
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1)考证
2)假定

(1)p(k)

是建立的。
建立,证明出p(k1)也建立。
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由(1),(2)可得关于随意的自然数n,命题p(n)都建立。
这是数学概括法最基本的形式,往常称作第一数学概括法。
例5证明1+3+5++(2n1)=n2
证明:(1)当n=1时,左侧=1,右侧=12=1
等式建立。
(2)假定当n=k(k1)时等式建立,即
1+3+5++(2k1)=k2
则
n=k+1时1+3+5++(2n
1)=1+3+5++(2k
1)+[2(k1)-1]
=1+3+5++(2k1)+(2k
1)
=
k2+(2k
1)=(k
1)2
所以,当n=k+1时,等式也建立。
由(1),(2)可知,关于随意自然数n,等式都建立。所以得证。
总之,一个数学命题常常能够有不一样的思路来思虑据明,思路不一样,所产
生的影响不一样,证明方法也不一样,关于不一样的数学命题的证明也能够有很多
不一样的思路,不一样的方法。
参照文件
数学证明方法
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[1]李士锜PME:数学教育心理学华东师范大学第一版
社
[2]蒋文蔚杨延龄数学概括法北京师范大学第一版
社
[3]侯敏义数学思想与数学方法论东北师范大学第一版
社
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