计算方法课件第1章 数值计算的误差.ppt

第1章数值计算的误差
误差类型
模型误差与观测误差
方法误差与截断误差
舍入误差
误差定义
1. 绝对误差
设x为准确值,x*为其近似值。则
E(x)=x-x*
称为近似值x*关于准确值x的绝对误差
由于准确值x是未知的,因此,无法根据定义准确地计算出某个近似值的绝对误差,而只能根据测量或计算的具体情况估计出误差绝对值的一个范围,也就是估计出|E(x)|的一个上界。
设
|E(x)|=|x-x*|≤η
则称η为近似值x*关于准确值x的绝对误差限。
2. 相对误差
设x为准确值,x*为其近似值。则

称为近似值x*关于准确值x的相对误差。
由于准确值x一般是不知道的,因此,相对误差通常又定义为
如果

则称δ为近似值x*关于准确值x的相对误差限。
在实际应用中,就将相对误差限称为相对误差。同样,在本书中,如果没有特殊说明,相对误差即指相对误差限。
根据相对误差的定义,相对误差限δ与绝对误差限η之间有如下关系:

在工程实际中,一般用百分比来表示相对误差。即
有效数字
设x为准确值,x*为其近似值。若

则称用x*近似表示x时准确到小数点后第k位;并称从小数点之后的第k位数字起直到最左边的非零数字之间的所有数字为有效数字;称有效数字的位数为有效数位。
设x为准确值,x*为其近似值,且表示成如下形式:
x*=±10m(x1×10-1+x2×10-2+…+xn×10-n)
其中x1,x2,…,xn都是0~9十个数字之一,且x1≠0,n是正整数,m是整数。若

则称近似值x*具有n位有效数字。
数值计算的运算误差
在分析运算误差时,通常要考虑以下一些原则。
1) 两个相近的近似数相减,会严重丢失有效数字。
2) 除数绝对值较小时,商的绝对误差会增大。
3) 在运算过程中,必须注意合理安排运算顺序,以便提高运算的精度或保护重要的参数。
4) 注意计算步骤的简化,减少算术运算的次数。
5) “坏条件”函数值的判别。
误差的传播与计算不稳定性
计算定积分
,n=0,1,2,…,20
可以发现相邻两个积分之间存在以下关系:

根据这个关系就可以得到如下递推公式
由这个递推公式可以看出,只要知道就可以算出