数学模型课件第五章_微分方程模型.pdf

数学模型
第五章微分方程模型
传染病模型
经济增长模型
正规战与游击战
药物在体内的分布与排出
香烟过滤嘴的作用
人口预测和控制
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数学模型
描述对象特征随时间空间的演变过程
动态•( )
模型•分析对象特征的变化规律
•预报对象特征的未来性态
•研究控制对象特征的手段
微分•根据领域问题的变化率,确定函数类型
方程•根据建模目的和问题分析作出简化假设
建模
•按照内在规律或用类比法建立微分方程
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* 数学模型
传染病模型
问题•描述传染病的传播过程
•分析受感染人数的变化规律
•预报传染病高潮到来的时刻
•预防传染病蔓延的手段
•按照传播过程的一般规律,
用机理分析方法建立模型
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模型1 已感染人数(病人) i(t)
假设•每个病人每天有效接触
(足以使人致病)人数为
建模 i(t t)  i(t) i(t)t
每天所有病人传
染的人数
di t
 i i(t)  i e
dt 0
i(0)  i0 t i ?
在病人有效接触的人群中,有健
康人,也有病人
若有效接触的是病人, 必须区分已感染者(病
则不能使病人数增加人)和未感染者(健康人)
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模型2 区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)
假设 1)总人数N不变,病人和健康人的比例分别 SI 模型
为 i( t ), s( t )
λ人中的健
康人人数 2)每个病人每天有效接触人数为, 且使接触~ 日
的健康人致病接触率
所有病
每个病人每天的作为
人人数λs(t):每个病人每天可使这么多健康者变为病人
Ni(t)•λs(t):所有病人每天可使这么多健康者变为病人
所有病人每天的作为
建所有病人Ni(t)的增加率,所以有: N [i(t t)  i(t)] [s(t)]Ni (t)t
模 di
N  N i *  s
dt
di  di
 si  i (1  i ) 初始时刻病人
dt  dt 的比例
s (t )  i (t )  1 
 i ( 0 )  i 0
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 di
模型2  i ( 1  i )
 dt Logistic 模型
 i ( 0 )  i 步1
i  0
1
1 i ( t ) 
 1 
1  1  e  t
 i 
1/2  0 
当i=1/2时,di/dt 达到最大,计算如下:
i0
步3 步2
0 λλ 2 λ
tm t (di/dt)’i =( i - i )’i = -
2λi=0
每个病人 1 
每天有效 1
t m  ln  1 
接触人数
t=tm, di/dt 最大 i 0 
原因:病人不能治愈
tm~传染病高潮到来时刻
问题:t  i  1 ?
(日接触率) tm
如果病人可以治愈呢?
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模型3 传染病无免疫性——病人治愈成为健康
模型
人,健康人可再次被感染 SIS
1)总人数N不变,病人和健康人的比例分别
原假设被治好的病人/ 天
为 i( t ), s( t ) =
2)每个病人每天有效接触人数为, 且使接触病人总数
的健康人致病在模型2基础上增
增加假设 3)病人每天治愈的比例为~日治愈率加的一项。
建模 N [ i ( t  t )  i ( t )]  Ns ( t )i ( t )  t  Ni ( t )  t
 di
 N  N  i ( 1  i ) * N i ~ 日接触率
 dt 每天的病

 i ( 0 )  i 0 人数
1/~感染期
/ ~ 一个感染期内每个病人效接触的平均人
数,称为接触数。
*1/ 处于生病状态的时间从生病→治好的
在这段时间里,可以去感染别人时间
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di 数学模型
i(1  i) i 大,意味
模型3 di 1 I0
dt i[i (1 )] 着病人接