第五章 微分方程.pdf

第五章常微分方程
一.  求解下列微分方程: 
x  x 
 x 
1.   1 + e y   dx + e y  1 − dy = 0 

 y 
x 
 x  
e y − 1 
dx  y  
解.  =  . 
dy  x 
1 + e y 
x
令  = u , x = yu .(将 y 看成自变量) 
y 
dx du  du  e u ( u − 1 ) 
= u + y  ,  所以  u + y  =
dy  dy  dy  1 + e u 
du  ue u  − e u  u + e u 
y =  − u = −
dy  1 + e u  1 + e u 
1 + e u dy  d ( u + e u )  dy   u + e u   1 
du = −,  = −,  
u  u  ln = − ln y = ln 
u + e  y  u + e  y   c   y 
u  x 
1  u + e  c  c   y  
=  ,  y =  u  = x  ,  x + ye  = c . 
y  c  u + e  x  
+ e y  
y 
 y 2  − 2 xy − x 2 
 y ' = 
2.  y 2  + 2 xy − x 2 

 y (1  )  = − 1 
y
解.  令  = u , y = xu . 
x 
dy du  du  u 2 − 2 u − 1 
= u + x  ,  所以  u + x  =
dx  dx  dx  u 2  + 2 u − 1 
du  u 2 − 2 u − 1  − u 3  − u 2  − u − 1 
x  =  − u =
dx  u 2  + 2 u − 1  u 2  + 2 u − 1 
u 2  + 2 u − 1  dx 
du = −
u 3  + u 2  + u + 1  x 
− 1  2 u   dx 
+  du = −
 u + 1  u 2  + 1  x 
u + 1  u + 1 
ln  = ln cx ,  = cx .  由 y (1  ) = − 1 , 得u  (1   ) = − 1 
u 2 + 1  u 2  + 1 
u + 1  y 
所以  c = 0.  = 0 ,  得到 u + 1 = 0 ,  + 1 = 0 ,  即 y = − x . 
u 2 + 1  x 
二.  求解下列微分方程: 
2 
1.  1 + x 2  y ' sin 2 y = 2 x sin 2  y + e 2  1+  x
解.  令 u = sin 2 y , 则u   ' = y ' sin 2 y .  得到 
2  1+  x 2 
2  2 x  e 
1 + x 2 u ' = 2 xu + e 2  1+  x  ,  u ' − u = 为一阶线性方程
1 +