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第5章偏微分方程数值解
问题的提出
基本离散化公式

吸附床传热传质模型中偏微分方程求解实例
目录
问题的提出
包含有偏导数的微分方程称为偏微分方程。从实际问题中归纳出来的常用偏微分方程可分为三大类:波动方程、热传导方程和调和方程。对于它们特殊的定解条件,有一些解决的解析方法,而且要求方程是线性的、常系数的。但是在实际中碰到的问题却往往要复杂得多,尤其在化工和化学模拟计算中,不仅偏微分方程的形式无一定标准,且边界条件五花八门,方程中的系数随工况改变而改变,想利用解析求解是不可能的。另一方面实际问题的要求不一定需要严格的精确解,只要求达到一定精度,所以就可借助于差分方法来求偏微分方程的数值解。
在第4章里,我们介绍了一个套管式换热器稳态的传热问题。如果我们考虑一个动态的传热过程,且不忽略纵向的热传导,就可以得到以下的偏微分方程:




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问题的提出
上面方程中变量的含义如下:
通过求解上面的偏微分方程,就可以得到传热管各点温度随时间的变化值,从而确定达到传热平衡所需的时间,为实验测量提供依据。想求解上述方程,就必须首先学会偏微分方程的求解方法,下面我们首先介绍如何对偏微分方程进行离散化的工作,然后再对各类不同的偏微分方程进行求解,我们一般只给出离散化的基本公式及计算方法,对离散化公式的具体推导工作一般不作详细介绍,对这方面感兴趣的读者可自行参考有关数值计算的书籍。




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基本离散化公式
在偏微分方程中,自变量都在两个或两个以上,应变量随两个或两
个以上的自变量变化而变化。在化工或化学动态模拟方程中,常常有一个
自变量是时间,其它的自变量为空间位置。如果只考虑一维空间,则只有
两个自变量;如果考虑两维空间,则有3个自变量。一般我们将自变量在
时间和空间以一定的间隔进行离散化,则应变量就变成了这些离散变量的
函数,以3维空间为例,我们将离散化的应变量表示成,它所表示的真正
含义如下:
有了以上的定义,对于一阶偏
导我们可以利用第四章的欧拉
公式直接得出向前欧拉公式:
对于时间偏导而言,有时我们
常常采用向后欧拉公式,时间的
向后欧拉公式如下:




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基本离散化公式
这样在以后的计算中,得到的是隐式的计算公式,需通过求解线性方
程组才能求解。具体的计算过程我们在下面会针对具体的偏微分方程进行
讲解。对于二阶偏导,我们可
以通过对泰勒展开式处理技术
得到下面离散化计算公式:
有了以上的离散化公式,就可以进行偏微分方程的数值求解工作。当
然,在具体求解时,还会碰到不同的问题,需要区别对待,同时在利用计
算机编程计算时也会碰到困难,这些问题我们会通过具体的例子加以说明。




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1、波动方程
其中: 为初值条件
为边值条件
当该波动方程只提初值条件时,称此方程为波动方程的初值问题,二者均
提时,称为波动方程的混合问题。
对于初值问题,是已知t=0时,u与依赖于x的函数形式,求解不
同位置,不同时刻的u值。而 u是定义在的二元函
数,即上半平面的函数。
对于混合问题除初值外,还有边值。是已知初值及x=0及x=l时u依赖于t的函数,求解不同位置x,不同时刻的u值。此时u是定义在的带形区域上的二元函数。如图可以看出初值问题和混合问题的定义域。




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,将上面波动方程离散化,得到:
(5-1)
将式(5-1)进行处理,把(n+1)时刻的变量留在右边,其余放在左边得到:
(5-2)

同时将边界条件和初始条件也离散化,得到:
(5-3)
x
t
0
a)初值问题
t
x
0
l
b)混合问题




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这样,由式(5-2),并结合式(5-3),就可以从n时刻的各点u值,计算得到下一时刻的u值,这样层层递推,就可以计算出任意时刻,任意位置的u值。,*表示需求u值的点,○表示为了求x点的u 值必须已知u值的点。
需要说明的是,在应用式(5-2)进行计算时,初值与边值应当满足相容性条件。由初值得到,由边值得到,
, 但在利用式(5-2)进行第一轮计算时,若取n=0,则发现等式右边出现了,这是一个无法计算的值。这时可以利用另一个初值条件算得,这样,可在第一轮计算的时候,取n=