第二十六章 常微分方程　典型习题解答与提示.doc

第二十六章常微分方程初步典型习题解答与提示
习题 26-1
1.(1)一阶; (2)二阶; (3)三阶; (4)一阶。
2.(1),,因,将及代入微分方程有
恒成立,则函数是微分方程的解;
(2),,因,,
将及代入微分方程恒成立,
则函数是微分方程的解;
(3),,因,,
将,,代入微分方程
方程不成立,则函数不是微分方程的解;
(4),,因,
,将,,代入微分方程,有
恒成立,则函数是微分方程的解。
3.(1); (2)满足初始条件的特解为。
4.(1)因,,则,,又因,则,
即;
(2)因,,则,得。
5.(1);
(2)据题意作图26-2,过P点的法线方程为,
图26-2 习题26-1中5(2)示意
令则,
即;
,则,又因
,,得,
即运动规律为。
习题 26-2
1.(1); (2);
(3); (4);
(5),得;
(6),则,,
又因,,则,得;
(7),则,又因,
则,得;
(8),,
因,,则,得。
,物体的温度,冷却速度为温度关于时间的变化率,由冷却定理:,为比例系数,负号表示温度下降,初始条件,,
则,得,
因,,得,又因,得,
得冷却规律为
取,得,于是经过60 min(再经过40 min)温度可降到30。
3.(1);
(2);
(3)提示,令,;
(4),令,,,
则,
得,,
;
(5),令,,,
则,,,
得,
,
即,;
(6)令,则,,则,
得,,,
当,,得,即;
(7),令,则,,
则,,,
( ! 表示积分常数,不是的导数。)
故,,当时,,则,即。
,如图26-3所示,有,
则,即。
令,则,,
得,,
,即,
又因,,则,即。
5.(1),令,则,得,,
,即;
(2)令,则,,故,
故,即;
(3)令,,,
则,,即。
6.(1)提示,先求对应齐次方程的通解,
然后设为原方程的解,原方程的通解为;
(2)提示,先求对应齐次方程的通解为,
然后设非齐次方程的解为,解之,原方程的通解为
;
(3)提示,先求对应齐次方程的通解,
再设为原方程的解,解之,原方程的通解为;
(4)提示,先求对应齐次方程的通解,
再设为原方程的解,解之,原方程的通解为;
(5),
先求对应齐次方程的通解,,则,
设非齐次方程的通解为,,
将,代入原方程,
则,,原方程的通解为;
(6)先求对应齐次方程的通解,,则,,
设原方程的解为,,
( ! 表示积分常数,表示的导数,以下同,不再说明。)
将,代入原方程,故,
即,
即原方程的通解为,
又因,,则,即;
(7)先求对应齐次方程的通解,
因,故,。
设为原方程的解,
则,
将,代入原方程,化简为,故,
即原方程的通解为,
当,,则,即;
(8)先求对应齐次方程的通解,
因,则,。
设原方程的通解为,则,
将,代入原方程,化简为,
则,故原方程的通解为,
又因,,得,即;
(9)先求对应齐次方程的通解,
因,则,
设原方程的通解为,,
将,代入原方程化简为,故,
即原方程的通解为,又因,,得,
即。
,先求对应齐次方程的通解,
又因,则,。
设原方程的通解为,则,
将及代入原方程,化简为,
故,即原方程的通解为,
又因,,得,即所求曲线方程为。
8.(1)因,则,令,
则( * )
先求对应齐次方程的通解,又因,则,,
设为(*)式的解,
将,代入(*)式,化简为,
故,,
即原方程的通解为;
(2)因,令,
则(*)
先求齐次方程的通解,,则,
得,
设为(*)式的解,
将,代入(*)式,化简得,得,
即(*)式通解为,
即原方程的通解为;
(3),令,
则(*)
先求对应齐次方程的通解,
因,则,,
设为(*)式的解,,
将,代入(*)式,化简得,得,
(*)式的通解为,
即原方程的通解为;
(4),令,
则(*)
先求齐次方程的通解,显然为,
设为(*)式的解,,
将,代入(*)式,化简得,
故,(*)式通解为,
即原方程的通解为。
习题 26-3
1.(1); (2);
(3)提示,设,,则(*)
先求对应齐次方程的通解,显然有,设为(*)式的解,
则原方程的通解为;
(4)设,则,,故,,
,得,即;
(5)设,,则,即;
得,或,,或,方程,
即,,得,
即,或;
(6)设,,则,即,