常微分方程习题（15）.doc

常微分方程期终试卷(21)
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一、填空题(30分)
方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0有只含x的积分因子的充要条件是( ),有只含y的积分因子的充要条件是( )。
求=f(x,y)满足的解等价于求积分方程(y=y+)。
方程定义在矩形域R:-2 上,则经过点(0,0)的即位存在区间是( )。
若X(t)(I=1,2,,n)是齐线性方程的 n个解,W(t)为伏朗斯基行列式,则W(t)满足一阶线性方程((t)+a(t)W(t)=0)。
若X(t), X(t) ,X(t)为n阶齐线性方程的n 个解,则它们线性无关的充要条件是(W[X(t), X(t) ,X(t)]0)。
在用皮卡逐步逼近法求方程组=A(t)X+f(x),X(t)=的近似解时,则)。
当方程的特征根为两个共扼虚根时,则当其实部(为零)时,零解是稳定的,对应的奇点称为(稳定中心)。
满足(X(x,y)=0,Y(x,y)=0)的点(x), 称为方程组的奇点。
若都是=A(t)X的基解矩阵,则具有关系:()。
形如(x+a x+的方程称为欧拉方程。

二、计算题
求下列方程的通解(1-2)
1、(2xy+
解:因为
又因为
所以方程有积分因子:u(x)=
方程两边同乘以得:
[
也即方程的解为.
2、
解:令,,则
即
从而
又
=
故原方程的通解为
t为参数
3、求方程经过(0,0)的第三次近似解
解:



=
4、求的通解
解:齐线性方程的特征方程为
故齐线性方程的一个基本解组为,,
因为不是特征方程的特征根
所以原方有形如=的特解
将=代入原方程,比较t的同次幂系数得:

故有解之得:,
所以原方程的解为:

5、试求:的