根轨迹分析.doc

|实验四用MATLAB绘制根轨迹图
(The Root Locus Using MATLAB)
一、绘制系统的根轨迹
在绘制根轨迹之前,先把系统的特征方程整理成标准根轨迹方程
其中: 为根轨迹增益;
num(s)为系统开环传递函数的分子多项式;
den(s)为系统开环传递函数的分母多项式。
绘制根轨迹的调用格式有以下三:
rlocus(num,den) 开环增益k的范围自动设定;
rlocus(num,den,k) 开环增益k的范围人工设定;
[r,k]=rlocus(num,den) 返回r矩阵和k向量,不作图。
已知某系统的开环传递函数为
试绘制该系统的根轨迹。
解: 在Matlab命令窗口键入
num=[1 4];den=[1 2 4 0];
rlocus(num,den)
可得如图4-1的结果。
图4-1
由于采用rlocus()函数绘制根轨迹时,不同的根轨迹分支之间只区分颜色而不区分线形,所以打印时是不容易分辨各个分支的,需要在运行Matlab程序时注意观察曲线的颜色。■
例4-2 若要求例4-1中的在1到10之间变化,绘制相应的根轨迹。
解在MATLAB命令窗口键入
num=[1 4];
den=[1 2 4 0];k=[1::10];
rlocus(num,den,k)
可得如图4-。
图4-2
例4-3 设系统的开环传递函数为
试绘制其闭环系统的根轨迹图并在图上找出几点的相关数据。
解在MATLAB命令窗口键入
den=conv([1 3 0],[1 2 2]);
num=1;
g=tf(num,den);
figure,
rlocus(g)
axis([-15 5 -10 10]);
axis()函数用于设置系统的横、纵坐标范围。二维图形时的axis[Xmin Xmax Ymin Ymax],分别设置了横轴的最小值Xmin和最大值Xmax、纵轴的最小值Ymin和最大值Ymax。
在Matlab运行后出现的如图4-3中,可以用鼠标单击根轨迹上的某一点,这时在根轨迹的该点上会显小黑点并在其下方出现所要该点的信息,图形窗口的变化情况如图4-3所示。
图4-3
例4-4 设某系统的开环传递函数为
绘制当K从0变化到无穷大时的根轨迹。
解在MATLAB命令窗口键入
gh=tf(1,conv([1 2 0],[1 5]));
rlocus(gh)
[K,p]=rlocfind(gh)
程序运行后出现的图形如图4-4所示。图上除了根轨迹以外,还出现了一个大十字的光标并可随着鼠标移动。选定根轨迹上的某一点并单击鼠标左键,会出现如图4-5所示的图形,每条根轨迹上红色的十字符号代表所选定处的增益和对应的特征根。
图4-4
图4-5
除了在图上可知具体的选定特征根位置外,在Matlab的命令窗口上还可以读到具体的参数
Select a point in the graphics window
selected_point =
- +
K =
p =
-
- +
- -
即当K = - 、- +、- -。当然也可利用rlocfind()函数在根轨迹上寻找与虚轴的交点和分离点等关键数值。
二、使用根轨迹进行系统性能分析
系统的极点位置反映了系统的很多特征。比如,若有闭环特征根落在平面的右半平面,则系统不稳定。若所有的闭环特征根都在平面的左半平面且有共轭复根,则系统响应有渐近的衰减振荡。因此利用根轨迹可以分析参数变化对系统性能的影响。下面举例来加以说明。
例4-5 已知某单位反馈系统的开环传递函数为
试求
1) 系统的根轨迹;
2) 系统稳定的值范围;
3) 系统无超调量时的值范围。
解在Matlab命令窗口中键入
num=[1 5 6];den=[1 8 3 25];
rlocus(num,den)
可得根轨迹图如图4-6所示。再键入
rlocfind(num,den)
图4-6
将光标点击根轨迹与虚轴的交点、根轨迹的分离点,可获得系统稳定时的值范围为。无超调(即过阻尼)的值范围是。
作业
,其开环传递函数如下所示。试利用rlocus函数,分别得到时的根轨迹图。
(a)
(b)
(c)
(d)

某单位负反饺