第5章 矩阵的相抵与相似.doc

§ 等价关系与集合的划分

本节只做简单介绍,考试不考此部分,在以后抽象代数
中还会讲到。
§ 矩阵的相抵(也叫等价)
第一章§1已经证明,任何一个矩阵经过初等行变换
可以化成简化行阶梯形矩阵。如果再对进行列变换,
那么能变成什么样的最简单的矩阵?看例子:

(以上行变换);
再经过列变换。
最后这个矩阵非常简单,把它写成分块矩阵的形式就是:
。
问: 任何一个矩阵经过初等行、列变换是否都可以化成
这种简单形呢?
定义1 数域上的矩阵经过一系列初等行变换和初等
列变换变成矩阵,则称与是相抵的或等价的,记作
,或。
矩阵的相抵关系满足
1°反身性:, 即与自己相抵;
2°对称性:若,则;
3°传递性:若,, 则.
因此,矩阵的相抵关系是一种等价关系。
事实1 数域上的矩阵与相抵
经过初等行变换和初等列变换变成矩阵
存在上的阶初等矩阵与阶初等
矩阵, 使得
存在上的阶可逆矩阵与阶可逆矩阵,
使得
. (1)
定理1 设数域上的矩阵的秩为。如果,
则相抵于下述形式的矩阵
, (2)
称矩阵(2)为的相抵标准形。
证明如果, 则经过一系列初等行变换化成的
简化行阶梯形矩阵有个非零行:
再经过适当的两列互换,可以变成下述形式:
。(3)
把的第1列的倍分别加到第列上;接着
把的第2列的倍分别加到第列上; …,
最后把的第列的倍分别加到第列上,
便得到下述形式的矩阵:
。
因此,相抵于这个矩阵。
如果,则,从而。
定理2 数域上两个的矩阵与相抵当且仅当它
们的秩相等。
证明必要性。设与相抵,则经过初等行变换和初
等列变换变成矩阵。由于初等行变换和初等列变换不改
变矩阵的秩,所以与的秩相等。
充分性。设,则
, 。
从而。如果,则, 与相抵也相抵。
注: 数域上所有的矩阵组成的集合记为,
它显然含有无穷多个矩阵。但由定理2,可以按矩阵的秩
把它们分成有限多个类:凡是秩相同的矩阵彼此相抵,把
它们分在同一类,称为一个相抵类,秩不相同的矩阵分在
不同的类,每一个矩阵都属于某个相抵类。由于
,这样一共有个相抵类。
当时,一共有个相抵类。
推论5 设数域上的矩阵的秩为,则存在
上的阶可逆矩阵与阶可逆矩阵, 使得
。(2)
应用举例:P163第3,4题
§3 广义逆矩阵
广义逆矩阵是前面一般逆矩阵的推广:一般逆矩阵要求
矩阵是方阵,且行列式不能为0,去掉这两个条件之后的
矩阵的逆矩阵就是所谓的广义逆矩阵。但是几乎所有的
高等代数教材都没有此部分,它超出了高等代数的内容,
所以我们不打算讲,也不考试。

§4 矩阵的相似

设是方阵,怎么求的幂?如果有可逆矩阵,使
得,并且容易计算,则
,
于是也就容易计算了。
为了寻找较简单的矩阵(容易计算),就需要研究
形如的矩阵,并寻找适当的逆矩阵,使得最
简单。为此引入
:设与都是数域上的阶矩阵,
如果存在数域上的一个阶可逆矩阵,使得

则称与相似,记作。
例如,设
,,,
则
,
即与相似。
由定义容易得出,矩阵的相抵关系也是一种等价关系。
1°反身性:, 即与自己相似;
2°对称性:若,则;
3°传递性:若,, 则.
命题1 如果,,则
,
,
。
相似的矩阵有许多共同的性质:
性质1°相似的矩阵有相同的行列式。
证明设,则存在可逆矩阵,使得。
从而。
性质2°相似的矩阵或者都可逆,或者都不可逆;并且当
它们可逆时,它们的逆矩阵也相似。
证明由性质1°即得结论的前半部分。
现在设,且可逆。则存在可逆矩阵,使得
。从而,因此。
性质3° 相似的矩阵有相同的秩。
证明设,则存在可逆矩阵,使得。从而
与相抵,因此与有相同的秩。
矩阵迹的定义:阶矩阵的主对角线上的元素之和称为
的迹(trace),记作。即。
矩阵的迹具有下列性质:
; (5)
; (6)
。(7)
(5)(6)由定义很容易验证。(7)的证明如下:
设,则
,
,
因此,。
性质4° 相似的矩阵有相同的迹。
证明设,则有可逆矩阵,使得。于是
。
本节开头指出,如果能相似于一个比较简单的矩阵,
譬如说对角矩阵,则就容易计算了。是不是任何一个
方阵都能相似于一个对角矩阵?(答案是否定的)。
当能够相似于对角矩阵时,如何求对角矩阵和可逆矩
阵?
数域上的阶矩阵相似于对角矩阵
存在数域上的阶可逆矩阵,使得
,即,即
,即
中存在个线性无关的向量,使得
,,,。
总结成下面