四点共圆(一).pdf

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四点共圆
【知识要点】
四点共圆的判定方法：
1、若四个点到一定点的距离相等，则这四个点在同一个圆上（即这四点共圆）。
2、若一个四边形的一组对角的和等于 180 度，则这个四边形的四个顶点共圆。
3、若一个四边形的一个外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆。
4、若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点
共圆。
5、若 AB 、CD 两线段相交于 P 点，且 PA PB  PC  PD，则 A 、 B 、 C 、 D 四点共圆。
6、若 AB 、CD 两线段延长后相交于 P 点，且 PA PB  PC  PD，则 A 、 B 、C 、 D 四点共圆。
7、若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆。
【典例精讲】
例 1、锐角 ABC 的三条高 AD、 BE 、CF 交于 H ，在 A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F 、 H 七个点中．能组成四
点共圆的组数是（ ）
A、 4 组 B、5 组 C、 6 组 D、 7 组
例 2、如图， A 、 B 、 C 、 D 四点在同一圆上， AD的延长线与 BC 的延长线交于 E 点，且 EC  ED 。
（1）证明： CD // AB ；
（2）延长 CD 到 F ，延长 DC 到 G ，使得 EF  EG ，证明： A 、 B 、 G 、 F 四点共圆.
例 3、如图，在梯形 ABCD 中，AD// BC ，点 E ，F 分别在边 AB ，CD 上，设 ED与 AF 相交于点G ，若 B ，
C ， F ， E 四点共圆，求证： AG GF  DG GE ．
例 4、已知点 A(2，0) ， B(3，5) ，直线 l 过点 B 与 y 轴交于点C(0，c) ，若 O 、 A 、 B 、 C 四点共圆，则 c 的
值为（ ）
22 28
A、 B、 C、17 D、无法求出
5 5
例 5、在圆内接等腰三角形 ABC的底边 BC 上任取二点 D、 E，延长 AD 、 AE 分别交圆于 F 、G ，
求证： AD AF  AE  AG .
例 6、如图， D ， E 分别是 AB ， AC 边上的点，且不与顶点重合，已知 AE  m ， AC  n ， AD ， AB 为方
程 x 2 14x  mn  0 的两根.
（1）证明： C ， B ， D ， E 四点共圆；
（2）若 A  90 ， m  4 ， n  6 ，求 C ， B ， D ， E 四点所在圆的半径．
例 7、如图， AB 为圆O 的直径， CD 为垂直于 AB 的一条弦，垂足为 E ，弦 BM 与CD 交于点 F ．
（1）证明： A 、 E 、 F 、 M 四点共圆；（2）证明： AC2  BF  BM  AB2 ．
例 8、如图，在平行四边形 ABCD 中， BAD为钝角，且 AE  BC ， AF  CD ．
（1）求证： A 、 E 、 C 、 F 四点共圆；
（2）设线段 BD与（1）中的圆交于 M 、 N ．求证： BM  ND ．
例 9、如图所示， I 为 ABC 的内心，求证： BIC 的外心 O 与 A 、 B 、 C 四点共圆.
例 10、 A 、 B 、C 三点共线，O 点在直线外，O ，O ，O 分别为 OAB ， OBC ， OCA 的外心．求证：
1 2 3
O ， O ， O ， O 四点共圆.
1 2 3
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例 11、如图，在 ABC 中， AD，BE 分别是 A ，B 的角平分线，O 是 AD 与 BE 的交点，若 C ， D ，O ，
E 四点共圆， DE  3，则 ODE 的内切圆半径为多少？
例 12、如图，点 F 是 ABC 外接圆弧 BC 的中点，点 D 、 E 在边 AC 上，使得 AD  AB ，BE  EC 。证明：
B 、 E 、 D 、 F 四点共圆.
例 13、如图， AH  AC ， EB  BC ， AE  AK ， BH  BM ．
（1）求证： E 、 H 、 M 、 K 四点共圆；
（2）若 KE  EH ， CE  3 求线段 KM 的长．
例 14、在 ABC 的边 AB ， BC ，CA 上分别取 D ， E ， F ．使得 DE  BE ， FE  CE ，又点 O 是 ADF
的外心．
（1）证明： D ， E ， F ， O 四点共圆；
（2）证明： O 在 DEF 的平分线上．
例 15、如图，CD 为 ABC 外接圆的切线， AB 的延长线交直线CD 于点 D ，E 、F 分别为弦 AB 与弦 AC 上
的点，且 BC  AE  DC  AF ， B 、 E 、 F 、C 四点共圆．
（1）证明： CA 是 ABC 外接圆的直径；
（2）若 DB  BE  EA ，求过 B 、 E 、 F 、 C 的圆的面积与 ABC 外接圆面积的比值．
例 16、如图，锐角 ABC 的内心为 D ，过点 A 作直线 BD的垂线，垂足为 F ，点 E 为内切圆 D 与边 AC 的切
点．（1）求证： A ， D ， F ， E 四点共圆；（2）若 C  50 ，求 DEF 的度数．
1 1
例 17、如图，在正 ABC 中，点 D ， E 分别在边 BC 、 AC 上，且 BD  BC ，CE  CA ， AD ，BE 相
3 3
交于点 P ，求证：（1） P ， D ， C ， E 四点共圆；（2） AP  CP ．
【强化训练】
1、 如图， AB 是⊙O 的直径，弦 BD，CA 的延长线相交于点 E ， EF 垂直 BA 的延长线于点 F ．
求证：（1） BE  DE  AC CE  CE 2 ；（2） E ， F ，C ， B 四点共圆．
2、如图，已知 AP 是⊙O 的切线， P 为切点， AC 是⊙O的割线，与⊙ O 交于 B ，C 两点，圆心 O 在 PAC
的内部，点 M 是 BC的中点．（1）证明 A ， P ， O ， M 四点共圆；（2）求 OAM  APM 的大小．
3、如图，已知 AB 为半圆 O 的直径， BE 、CD 分别为半圆的切线，切点分别为 B 、C ， DC 的延长线交 BE
于 F ， AC 的延长线交 BE 于 E ． AD  DC ， D 为垂足．（1）求证： A 、 D 、 F 、 B 四点共圆；（2）求证：
EF  FB ．
4、如图，已知 ABC 中的两条角平分线 AD和CE 相交于 H ， B  60 ， F 在 AC 上，
且 AE  AF ．
（1）证明： B ， D ， H ， E 四点共圆； （2）证明：CE 平分 DEF ．
5、如图，已知 BA 是⊙O 的直径， AD是⊙O 的切线，割线 BD、BF 分别交⊙O 于C 、E ，连接 AE 、CE ．
求证： BE  BF  BC  BD ．
6、如图，⊙ O 与⊙ P 相交于 A 、 B 两点，圆心 P 在⊙ O 上，⊙ O 的弦 BC 切⊙P 于点B ，CP 及其延长线交
⊙ P 于 D ， E 两点，过点 E 作 EF  CE ，交CB 的延长线于点 F ．（1）求证： B 、 P 、 E 、 F 四点共圆；
（2）若 CD  2 ， CB  2 2 ，求出由四点 B 、 P 、 E 、 F 所确定圆的直径．
7、如图所示，已知 PA 切圆O 于 A ，割线 PBC 交圆O 于 B 、C ， PD  AB 于 D ， PD与 AO的延长线相交
于点 E ，连接 CE 并延长交圆 O 于点 F ，连接 AF ．
2
（1）求证： B ， C ， E ， D 四点共圆；（2）当 AB  12 ， tan EAF  时，求圆 O 的半径．
3
8、如图，ABC 是直角三角形，ABC  90 ．以 AB 为直径的圆 O 交 AC 于点E 点 D 是 BC 边的中点，连OD
交圆 O 于点 M （1）求证： O ， B ， D ， E 四点共圆；（2）求证： 2DE 2  DM  AC  DM  AB.
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9、如图所示，在 RtABC 中，ACB  90，点 O 为三角形外的一点，以 O 为圆心，OC 为半径的圆与边 AB
相切，切点为 E ，圆 O 与边 BC 相交于D 点，直径 EF 与边 BC 交于G 点，连接AG．求证： AG// ED ．
10、如图，在 AGF 中， AGF 是直角， B 是线段 AG上一点，以 AB 为直径的半圆交 AF 于 D ，连接 DG
交半圆于点 C ，延长 AC 交 FG 于 E ．
GE 3 2GA
（1）求证 D 、 C 、 E 、 F 四点共圆； （2）若  ，求 的值．
GB 2 GF
11、如图所示， AB 是⊙O 的直径， G 为 AB 延长线上的一点，GCD 是⊙O 的割线，过点G 作 AB 的垂线，
交 AC 的延长线于点 E ，交 AD 的延长线于点 F ，过 G 作⊙ O 的切线，切点为 H ．
求证：（1） C ， D ， F ， E 四点共圆；（2） GH 2  GE  GF ．
12、如图，已知 PA 与⊙O 相切于点 A ，PBC 为⊙O 的割线，弦 CD // AP，AD与 BC 相交于点E ，F 为CE
上一点，且 DE 2  EF  EC 。
（1）求证： A 、 P 、 D 、 F 四点共圆。（2）若 AE  6 ， DE  EB  4 ，求 PA 的长．
13、如图，由⊙ O外一点 P引⊙ O的切线 PA 、PB ，过 P 引割线 PCD 交⊙O于C、D。OP 与 AB 交
于 E 。求证： CEO CDO 180.
14、如图， AD、 BE 、 CF 是 ABC 的三条高， H 是垂心，求证： BH  BE  CH CF  BC2 .
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