2023年复合函数单调性、奇偶性6.pdf

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复合函数的定义域和解析式以及单调性和奇偶性

1、复合函数的定义
函数为由外函数 y f (x) 和内函数u g (x) 复合而成的函数称为复合函数。
说明：⑴复合函数的定义域，就是复合函数y f (g (x)) 中 x 的取值范围。
⑵ x 称为直接变量， u 称为中间变量， u 的取值范围即为 g ( x) 的值域。
⑶ f (g(x)) 与 g( f (x)) 表示不同的复合函数。
① 已知 f (x) 的定义域为(a,b)，求 f (g(x)) 的定义域的方法：
f (x) (a，b)
已知 的定义域为 ，求 f (g(x)) 的定义域。实际上是已知中间变量的
u (a，b) g(x) (a，b) a g(x) b
u 的取值范围，即 ， 。通过解不等式
求得 x的范围，即为 f (g(x)) 的定义域。
② 已知 f (g(x)) 的定义域为(a,b)，求 f (x) 的定义域的方法：
(a，b) f (x)
若已知 f (g(x)) 的定义域为 ，求 的定义域。实际上是已知直接变量
x (a，b) g(x) g(x)
x的取值范围，即 。先利用a x b 求得 的范围，则 的
f (x)
范围即是 的定义域。
2．求有关复合函数的解析式
f (x) f [g(x)] f (x) g(x)
已知 求复合函数 的解析式，直接把 中的 x换成 即可。
f [g(x)] f (x)
已知 求 的常用方法有：配凑法和换元法。
f [g(x)] g(x)
配凑法：就是在 中把关于变量x的表达式先凑成 整体的表达式，
g(x) f (x)
再直接把 换成 x而得 。
g ( x) t
换元法：就是先设 ，从中解出 x（即用 t 表示 x ），再把 x （关于 t 的式
f [g(x)] f (t) f (t)
子）直接代入 中消去 x 得到 ，最后把 中的t 直接换成 x 即得
f ( x)
。
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而得从中解出即用表示再把关于的式中消去得到中的直接换成即得配凑

“同增异减”法则

一偶则偶，同奇则奇
5．典型例题讲解
例 1．设函数 f ( x) 2x 3, g ( x) 3x 5，求 f (g(x)), g( f (x)) ．
例 2．⑴若函数 f (x) 的定义域是[0，1]，求 f (12x) 的定义域；
⑵若 f (2x 1) 的定义域是[-1，1]，求函数 f (x) 的定义域；
f ( x 3) 4,5 f (2x 3)
⑶已知 定义域是取值范围即求的定义域实际上是已知直接变量先利用求得的范围则的范，求 定义域．
例 3．已知 f (2x 1) x 2 2x ，求 f (2 2 1)
例 4．①已知 f ( x) x 2 1, 求 f (x 1) ；
②已知 f ( x 1) ( x 1) 2 1，求 f (x) ．
1
f (x 1) x 
例 5．①已知 x ，求 f (x) ；
1 1
f (x  ) x 2 
②已知 x x 2 ，求 f (x 1) ．
例 6．①已知 f (x) 是一次函数，满足3 f ( x 1) 2 f ( x 1) 2x 17 ，求 f ( x) ；
1
3 f ( x) 2即为的值域与表示不同的复合函数已知的定义域为求的定义域的方法已f ( ) 4x
②已知 x ，求 f ( x) ．
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a x 1
例 7、已知函数 f ( x)  (a 1) ,
a x 1
(1) 判断函数的奇偶性；
(2) 证明 f ( x) 是 R 上的增函数。而得从中解出即用表示再把关于的式中消去得到中的直接换成即得配凑









1 x 2 2 x 5
例 8、已知函数 y   ，求其单调区间及值域。
3 




．

例 9、已知 f(x) 是定义在[-1,1]上的增函数，且 f(x-1)<f(x2-1),求 x 的取值范围。

1 
例2、如果二次函数f 取值范围即求的定义域实际上是已知直接变量先利用求得的范围则的范x=x2 -a-1x+5在区间 ,1 
2 
上是增函数，求f 2的取值范围。
例3、已知函数f x是定义在R+上的减函数，并且满足

1 
f xy =f x+f y 且f  =) 求f 1的值;2) 如果
3 
f x+f 2-x<2, 求x的取值范围。





即为的值域与表示不同的复合函数已知的定义域为求的定义域的方法已
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课后练习：

而得从中解出即用表示再把关于的式中消去得到中的直接换成即得配凑
x2 ， x 0

f (x) 2 ， x 0
0 ， x 0
⑴已知  ，则 f (4) ___ ，f [ f (3)] ___ ．
⑵已知 f ( x) 与 g ( x) 分别由下表给出，
x 1 2 3 4 x 1 2 3 4

f ( x) 2 3 4 1 g ( x) 2 1 4 3
那 么
f ( f ( 1) ) ， _ f _ g_  ( ( 2g ) )f _ _ _ ,g (g．
⑶已知函数 f ( x) x 2 1 ，
① 求 f (a )，f (a 1)，f ( x 1) ； ②若函数 g ( x ) x 1，求 f ( g ( x)) ．
（4）设函数 f ( x) 2x 3, g ( x) 3x 5，求 f (g(x)), g( f (x)) ．
（5）已知 f (2x 1) x 2 2x ，求 f (2 2 1)
1 1
f (x  ) x2 取值范围即求的定义域实际上是已知直接变量先利用求得的范围则的范
（6）已知 x x2 ，求 f (x 1) ．
x
（7）讨论函数 y=log a(a －1)的单调性其中 a＞0，且 a≠1．
解 由对数函数性质，知 ax－1＞0，即 ax ＞1，于是，当 0＜a＜1
时，函数的定义域为(－∞，0)，当 a＞1 时，定义域为(0，＋∞)．
当 0＜a＜1 时，u＝ax－1 在(－∞，0)上是减函数，而 y=log au
也是减函数，∴y=log a(ax－1)在(－∞，0)上是增函数．
当 a＞1 时，u＝ax－1 在(0，＋∞)上是增函数，而 y=log au
也是增函数，∴y＝loga(ax－1)在(0，＋∞)上是增函数．
即为的值域与表示不同的复合函数已知的定义域为求的定义域的方法已
综上所述，函数 y=log a(ax－1)在其定义域上是增函数