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第九小组微积分论文
(小组成员:吕欣悦、曹艺凡、王晓玮、王渊、李浩铭、樊歆玥、张廷婕、马可言、高睿哲)
刚进大学,微积分就进入了我们的数学世界,这个世界里原本只有中学的数学结构,平面的,静止的,不够立体,不够动态,微积分就像一个支架将我们的数学世界撑起,又像催化剂一般让我们数学的世界“动起来”。
通过学习微积分,我们站在了巨人的肩膀上,并且常常思考着,这门改变世界的学科到底在哪几方面影响了我们的世界。下面我们就将从数学、物理、经济三个方面概述我们对微积分的认识。
微积分与物理
微积分的主要数学思想就是无限细分以及无限求和。利用极限的思想,可以解决很多物理上的问题。例如变速直线运动的位移问题,变力做功问题。根据之前所学的物理学公式都只能求得匀速直线运动的问题以及恒力做功问题,而有了微积分,这些问题自然而然就迎刃而解了。再比如可以利用微积分求不规则立方体的体积和表面积,这些都给我们带来了很大的便利。下面有两个例题。
1、微积分在变速直线运动中的应用
匀速直线运动中的位移求解十分简单,只需要将经过的时间乘以速度就可以的到准确的答案。而变速直线运动因每一点的速度都是变化的而不能以常规方法解决。微积分的微元思想在这里得以大展身手:只要把整段时间分成无限小的时间段,因而在每个时间段上的速度变化都是非常小的,可以看做是恒等的速度,就能够利用匀速位移公式求和,然后将每一个时间段上的位移无限求和,便可以求出变速直线运动中产生的位移了。
2、微积分在直线变力做功中的应用
恒力做功可以通过公式简单求解,而解决变力做功的问题就需要借用微积分中的微元思想。借助于微积分,可以将位移无限细分,在每一个小位移上,力的变化非常小,可以看做是恒力,根据公式算出此时所做的功;然后将每一个小位移上的功无限求和,便可以求出变力所做的总功是多少。
接下来给出具体问题的解法:
Q:设质点m受力F的作用沿x轴由点a移动到点b,求质点在位移区间[a,b]上力F对质点所做的功W。
A:
把区间[a,b]分割成若干个小区间,每个小区间上力F看做不变,求出各小区间上力F对质点所做的功再相加,便得到力F对m所做功W的近似值,最后通过对区间[a,b]的无限细分过程求得功W的精确值。
(1)分割:
(2)近似代替、求近似和;
(2)取极限;
功W的精确值
求由y=lnx,y=0,x=e所围图形的面积以及该图形绕x轴旋转所得旋转体积
解:所围图形的面积=∫<0,1>(e-e^y)dy
=(ey-e^y)│<0,1>
=e-e+1
=1;
旋转体体积=π∫<1,e>ln²xdx
=π(e-2∫<1,e>lnxdx) (应用分部积分法)
=π(e-2e+2∫<1,e>dx) (应用分部积分法)
=π(e-2e+2(e-1))
=π(e-2)。
微积分与数学
作为高等数学的一个重要分支,微积分在数学中的应用无处不在,以导数为例,它从实践的要求中来,又以它独特的角度和方法极大的便利了数据的计算,尤其是在统计学中。人口的数量随着时间的变化而改变,这是自然界的规律,而在极大的人口基数下,寄希望于通过精确的人口调查来确定的人口的数量,从而计算出人口的增长率,以此来作为经济文化生活衡量的标准之一。
在导数中,只要能够通过时间的无限缩小,最终趋向于0,就能够以此来计算出人口增长率的大小。这样的创举中我们可以看到导数在实践中广泛而成功的运用。
导数在数学中的另一个重要应用就是它的几何意义——切线的斜率
设平面内有一曲线方程为y=f(x)
P0(x0,y0)是曲线上一点,过P0作一条割线P0P与曲线相交于一点P点,点P沿着曲线无限趋于点P0的时候,如果P0P存在极限位置的直线PT是唯一的,则PT为是该曲线在点P0处的切线。
这一概念巧妙地将代数概念导数与几何图形切线相联系,运用导数极限的思想,通过推理将导数极限运用于求曲线切线的斜率,由此解决了曲线斜率的计算问题,使曲线斜率的计算更加简化与便利。这便是导数应用于数学领域中的一个重要内容。
微积分与经济
这个部分是我们小组探讨的最后一个问题,也是重点探讨的一个问题,作为一个工具学科,数学与经济总是不分家的,经济学中的很多经济现象经济理论都能够用数学知识去解释。微积分在经济领域中的应用,主要是研究在这一领域中出现的一些函数关系,如价格函数、需求函数、成本函数、收益函数等等。还有弹性的经济分析,需求弹性、收益弹性等等。最优化问题是经济管理活动的核心,各种最优化问题也是微积分中最关心的问题之一。
对企业的经营和决策者来说,在经济分析中应用微积分定量的方法进行精确、周密的决策,可以为决策者和经营者提供严谨的分析方法和新思路。通过建立数学微积分模型,是实现高效决策和科学决策的重要