求数列通项公式的方法归纳.doc

求数列通项公式的方法
类型1 解法:把原递推公式转化为,利用累加法(逐差相加法)求解.
例1 已知数列满足,求数列的通项公式.
变式:,求数列的通项公式.
已知数列满足,,求.
类型2 解法:把原递推公式转化为,利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例2:已知数列满足,,求.
例3:已知, ,求.
变式: 1已知数列{an},满足a1=1, (n≥2),则{an}的通项

2. 已知数列满足,求数列的通项公式.
类型3 (其中p,q均为常数,).
解法(待定系数法):把原递推公式转化为:,其中,再利用换元法转化为等比数列求解。
例4:已知数列中,, ,求.
变式: 在数列中,若,则该数列的通项__________
类型4 (其中p,q均为常数,)(或,其中p,q, r均为常数).
解法:一般地,要先在原递推公式两边同除以,得:引入辅助数列(其中),得:再待定系数法解决.
例5:已知数列满足,,求数列的通项公式.

变式: 已知数列中,,,求.
类型5 递推公式为(其中p,q均为常数)。
解法(待定系数法):先把原递推公式转化为,其中s,t满足
例6:已知数列中,,求数列的通项公式.
例7:已知数列中,,,,求.
变式:
(I)证明:数列是等比数列;(II)求数列的通项公式;
,是其前项和,并且,
⑴设数列,求证:数列是等比数列;
⑵设数列,求证:数列是等差数列;⑶求数列的通项公式及前项和.
类型6 递推公式为与的关系式。(或)
解法:这种类型一般利用与消去或与消去进行求解.
例8:已知数列前n项和.(1)求与的关系;(2)求通项公式.
变式: ,,求通项.
已知数列的前n项和为,求通项.
已知数列的前n项和Sn满足,求通项公式.
已知数列的前n项和Sn=1+2an,.
已知数列中,,求通项.
,求通项.
,求通项.
{an},其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列求数列{an}的通项an
类型7
解法:这种类型一般利用待定系数法构造等比数列,即令,与已知递推式比较,解出,从而转化为是公比为的等比数列。
例9:设数列:,求.

例10:已知数列满足,求数列的通项公式。

例11:已知数列满足,求数列的通项公式。
例12: 已知数列满足,求数列的通项公式。
类型8
解法:这种类型一般是等式两边取对数后转化为,再利用待定系数法求解。
例13:已知数列{}中,,求数列
类型9 解法:这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为.
例14:已知数列{an}满足:,求数列{an}的通项公式.
变式: ,则求这个数列的通项公式.
{}满足时,,求通项公式.

{a}中,a=1,a= n∈N,求通项a.
类型10周期型解法:由递推式计算出前几项,寻找周期
例15:若数列满足,若,则的值为.
变式: 已知数列满足,则= ( )
B. C. D.
求数列通项公式的方法
类型1 解法:把原递推公式转化为,利用累加法(逐差相加法)求解.
例1 已知数列满足,求数列的通项公式。
解:由得则
所以数列的通项公式为.
评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为,进而求出,即得数列的通项公式。
变式:,求数列的通项公式.
解:由得
则所以
评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为,
进而求出,即得数列的通项公式.
2. 已知数列满足,,求.
类型2 解法:把原递推公式转化为,利用累乘法(逐商相乘法)求解.
例2:已知数列满足,,求。
例3:已知, ,求。
变式:(2004,全国I,理15.){an},满足a1=1, (n≥
2),则{an}的通项
解:因为①
所以②
用②式-①式得
则
故所以 ③
由, 取n=2,则=1,代入③得.
所以,的通项公式为
评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为,进而求出,从而可得当的表达式,最后再求出数列的通项公式.
2. 已知数列满足,求数列的通项公式。
解:因为,所以,则,故
所以数列的通项公式为
评注:本题解题的关键是把递推关系转化为,进而求出,即得数列的通项公式.
类型3 (其中p,q均为常数,).解法(待定系数法):把原递推公式转化为:
,其中,再利用换元法转化为等比数列求解。
例4:已知数列中,,,求.
变式:(2006,重庆,文,14)在数列中,若,则该数列的通项___