偏导数的概念.ppt

偏导数
一、偏导数的概念
二、偏导数的求法
三、高阶偏导数
一、偏导数的概念
定义1 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义,当y固定在y0,而x在x0处有增量△x时,相应函数有增量

如果极限
存在,则称此极限值为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)
即
类似地,可定义函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数为
又可记为
如果函数z=f(x,y)在区域D内每一点(x,y)都存在对x的偏导数,即
存在,显然这个偏导数仍是x,y的函数,称它为函数z=f(x,y)对x的偏导函数,记作
类似地,可以定义函数z=f(x,y)在区域D内对自变量y的偏导函数为
记作
=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对x的偏导函数定义为
同样地,可以定义偏导数.

二元函数z=f(x,y)=y0时,曲面z=f(x,y)与平面y=y0的交线方程为
上式表示y=y0平面上的一条曲线z=f(x,y0).根据导数的几何意义可知:fx(x0,y0)就是这条曲线在点M0(x0,y0,z0)处的切线关于x轴的斜率.
同样,fy(x0,y0)是这条曲线z=f(x,y)与平面x=x0的交线
在点M0(x0,y0,z0)处的切线关于y 轴的斜率.
二、偏导数的求法
.
例如,给定一个二元函数z=f(x,y),求时,可将
自变量y 看成常数(即将z看成x的一元函数),只需z对x
求导.
若求函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数,只需
先求偏导函数fx(x,y),然后再求fx(x,y)在点(x0,y0)处的函
数值,即,这样就得到了函数
z =f(x,y)在点(x0,y0)=y0代入
z=f(x,y)中,得z=f(x,y0),然后对x求导数fx(x,y0),再以
x=,y为
常数y0.