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第五章数值计算
主要内容
线性代数
函数分析
数据拟合
插值和样条
常微分方程的数值解
线性代数
一、LU分解
1. LU分解
一个矩阵可以分解为一个上三角矩阵和一个下三角矩阵的乘积,称之为LU分解。LU分解是用高斯主元消去法实现的,通常要对主元位置进行交换,主元交换的方法是将被分解矩阵左乘一个由0-1构成的行交换阵。
【调用格式】
[L, U, P] = lu(X) 对矩阵X进行LU分解,并进行主元交换
[L, U] = lu(X) 对矩阵X进行LU分解,无主元交换
【说明】
X为被分解的矩阵,L为主对角元素为1的下三角矩
阵,U为上三角矩阵,P为行交换矩阵。
线性代数
2. 行列式和求逆
矩阵的行列式和求逆可以通过LU分解的方法求解,Matlab提供了相关函数。
【调用格式】
d = det(X) 求矩阵X的行列式
Y = inv(X) 求矩阵X的逆矩阵

线性代数
二、特征值和特征向量
对于求解矩阵的特征值和特征向量,Matlab提供了eig函数。
【调用格式】
D=eig(A) 计算矩阵A的特征值,d为特征值构成的向量
[V , D]=eig(A) 计算矩阵A的特征值对角阵D和特征向量矩阵V
[V , D]=eig(A , 'nobalance') 当矩阵A中有与截断误差近似的数值,用本指令

三、奇异值分解

任意矩阵A可进行奇异值分解,即存在酉矩阵U和V,使下面等式成立
其中称为矩阵的奇异值。
线性代数
【调用格式】
s = svd(A) 求矩阵A的奇异值,s为由奇异值
构成的向量
[U , S , V] = svd(A) 矩阵A的奇异值分解
线性代数

矩阵的奇异值可以描述矩阵的结构特征。有关矩阵结构特征的MATLAB
函数有如下几种。
r = rank(A, tol) 在指定容差tol下,求矩阵A的秩。tol可以省略。
Z = null(A) 求矩阵A的零空间。
V = orth(A) 求矩阵A的值空间。
n = norm(A) 求矩阵A的2范数。
n = norm(A ,p) 求矩阵A的各种范数。
c = cond(X, p) 求矩阵A的条件数,p可以省略。
theta = subspace(A, B) 求A和B矩阵所张子空间的夹角。
B = pinv(A, tol) 在指定容差tol下,求矩阵A的
广义逆,tol可以省略。
线性代数
2. 广义逆法
如果用左除运算符求解的时候出现提示矩阵A为非奇异的警告或者解中出现Nan,则可以采用广义逆法。
x=pinv(A)*b
3. 符号计算法
可以求得方程组的符号解,对于欠定方程可以求得具有自由变量的解。
线性代数
求以下3个方程组的解
I:
II:
III: