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命题及常用逻辑用语
知识点回顾及经典例题讲析题组训练
命题的形式:“若P, 则q”
也可写成“如果P,那么q”的形式
也可写成“只要P,就有q”的形式
通常,我们把这种形式的命题中的P叫做命题的条件,q叫做结论.
记做:
用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句称为命题.
其中判断为真的语句称为真命题,判断为假的语句称为假命题.
1、命题
条件P的否定,记作“P”。读作“非P”。
若p 则q
逆否命题:
原命题:
逆命题:
否命题:
若q 则p
若 p 则 q
若 q 则 p
2、四种命题
结论1:要写出一个命题的另外三个命题关键是分清命题的题设和结论(即把原命题写成“若P则Q”的形式)
注意:三种命题中最难写的是否命题。
结论2:(1)“或”的否定为“且”,
(2)“且”的否定为“或”,
(3)“都”的否定为“不都”。
3、四种命题之间的关系
原命题
若p则q
逆命题
若q则p
否命题
若﹁p则﹁q
逆否命题
若﹁q则﹁p
互逆
互否
互否
互逆
互为逆否
(2) 若其逆命题为真,则其否命题一定为真。但其原命题、逆否命题不一定为真。
(1)原命题与逆否命题同真假。
(2)原命题的逆命题与否命题同真假。
(1) 原命题为真,则其逆否命题一定为真。但其逆命题、否命题不一定为真。
4、命题真假性判断
结论:
1.(2009·重庆)命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是( )
A.“若一个数是负数,则它的平方不是正数”
B.“若一个数的平方是正数,则它是负数”
C.“若一个数不是负数,则它的平方不是正数”
D.“若一个数的平方不是正数,则它不是负数”
答案:B
基础自测
:“已知a、b、c、d是实数,若a¹b且c¹d,则a+c¹b+d”.
对原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言,其中的真命题有( )

解析:a¹b且c¹d,可以推出a+c=b+d,从而原命题、逆否命题均不成立,
又若a=b或c=d,a+c=b+d不一定成立,从而逆命题、否命题均不成立.
答案:A
“若a>b,则2a>2b-1”的否命题为________.
答案:若a≤b,则2a≤2b-1
【例2】已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a,b∈R,
对命题“若a+b≥0,则f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)”.
(1)写出其逆命题,判断其真假,并证明你的结论;
(2)写出其逆否命题,判断其真假,并证明你的结论.
解:(1)逆命题是:若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),
则a+b≥0,真命题.
用反证法证明:假设a+b<0,则a<-b,b<-a.
∵f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,则f(a)<f(-b),f(b)<f(-a),
∴f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),这与题设相矛盾,所以逆命题为真.
(2)逆否命题:若f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),
则a+b<0,为真命题.
因为原命题⇔它的逆否命题,所以证明原命题为真命题即可.
∵a+b≥0,∴a≥-b,b≥-a.
又∵f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,∴f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a),
∴f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).
所以逆否命题为真.