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计算方法
计算方法研究的对象和特点
计算方法实际上就是计算机上使用的数值计算方法,所以这门课程又称为数值计算方法或数值分析。它是专门研究求解各种数学问题的数值计算方法。现在,由于大多数科学计算都比较复杂,人工计算无法完成;而计算机科学的迅速发展和广泛应用提供了解决这些复杂问题的新途径。
用计算机解决科学计算问题的一般过程,可以概括为:
实际问题→数学模型→计算方法→
程序设计→上机计算→结果分析
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2017/12/16
主讲韩光朋
由实际问题应用有关科学知识和数学理论建立数学模型这一过程,通常作为应用数学的任务。而根据数学模型提出求解的计算方法直到编出程序上机算出结果,进而对计算结果进行分析,这一过程则是计算数学的任务,也是数值计算方法的研究对象。
因此,数值计算方法就是研究用计算机解决数学问题的数值方法及其理论的科学。它的内容包括:误差理论、线性与非线性方程(组)的数值解、矩阵的特征值与特征向量计算、曲线拟合与函数逼近、插值方法、数值积分与数值微分、常微分方程与偏微分方程数值解等。
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主讲韩光朋

⒉制定数值问题的算法
⒊得不到准确解时,设法得到近似解
⒋解的特性(近似程度,敛散性)
⒌各种方法的优缺点(速度,存储量)
⒍各种方法的实用范围(收敛范围)
⑴计算方法要解决的几个问题:
(或研究的对象)
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主讲韩光朋
⒈把实际问题归结为数值问题
由于电子数字计算机的广泛使用,使越来越多的实际问题能归结为数值问题而得到解决(如:曲线拟合,数值逼近等)。
【什么是数值问题呢? 所谓数值问题,指的是由一组已知数据(又称输入数据)求出一组结果数据(又称输出数据),使得这两组数据之间满足预先指定的某种关系(函数关系)的问题。(即由一组数求得另一组数)】
⒉制定数值问题的算法
【什么叫算法? 用完全确定的运算规则(包括运算的逻辑顺序),对某一类数值问题的输入数据进行处理,判断此数值问题是否有解,在解存在的情况下,给出输出数据,此种过程称为算法。】
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主讲韩光朋
⒊得不到准确解时,设法得到近似解
例:求已知数。
由数学中的极限理论可知,
(极限存在)




于是
又∵n只能有限,∴x是近似值。
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主讲韩光朋
在计算方法中,我们还将讨论:
⒋解的特性(近似程度,敛散性)
⒌各种方法的优缺点(速度,存储量)
⒍各种方法的实用范围(收敛范围)
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主讲韩光朋
⑵一个好的方法应具有如下特点:
第一,面向计算机,要根据计算机特点提供实际可行的
有效算法,即算法只能包括加、减、乘、除运算和逻辑运
算,是计算机能直接处理的。
第二,有可靠的理论分析,能任意逼近并达到精度要
求,对近似算法要保证方法的收敛性和数值稳定性,还要对
误差进行分析,这些都建立在相应数学理论基础上。
第三,要有好的计算复杂性(即时间复杂性和空间复杂
性);时间复杂性好是指节省时间,空间复杂性好是指节省
存储量,这也是建立算法要研究的问题,它关系到算法能否
在计算机上实现。
第四,要有数值实验,即任何一个算法除了从理论上要
满足上述三点外,还要通过数值试验证明是行之有效的。
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主讲韩光朋
例:一个简单的算法问题,设要对给定的求多项式
的值。
一种计算过程是直接计算的每一项后逐项求和,这样要做次乘法和次加法。
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主讲韩光朋
另一种算法就是先将变形为如下形式:
再由内层向外层计算,如设:
就可以得到一个递推公式
k=1,2, …,n ()
这样的计算过程只需要计算n次乘法和n次加法。这种算法和上一种算法相比,不仅逻辑结构简单,而且计算也明显地减少了。多项式求值的这种算法称为秦九韶算法()。