4.1_定积分的概念与性质.ppt

第4章定积分与不定积分
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定积分和不定积分是积分学的两个
一种认识问题、分析问题、解决问题的
不定积分侧重于基本积分法的训练,
而定积分则完整地体现了积分思想—
主要组成部分.
思想方法.
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定积分的概念与性质
定积分问题举例
定积分的定义
关于函数的可积性
定积分的几何意义和物理意义
小结思考题作业
定积分的基本性质
*
*
*
definite integral
第4章定积分与不定积分
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1. 曲边梯形的面积
定积分概念也是由大量的实际问题抽象出
一、定积分问题举例
来的,
现举两例.
求由连续曲线 y = f (x) > 0及
直线 x = a, x = b和 y = 0所围
的曲边梯形的面积A.
定积分的概念与性质
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用矩形面积
梯形面积.
(五个小矩形)
(十个小矩形)
思想
以直代曲
显然, 小矩形越多,
矩形总面积越接近曲边
近似取代曲边梯形面积
定积分的概念与性质
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采取下列四个步骤来求面积 A.
(1) 分割
(2) 取近似
长度为
为高的小矩形,
面积近似代替
任意用分点
定积分的概念与性质
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(3) 求和
这些小矩形面积之和可作为曲边梯形
面积A的近似值.
(4) 求极限
为了得到A的精确值,
取极限,
的面积:
分割无限加细,
极限值就是曲边梯形
定积分的概念与性质
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2. 求变速直线运动的路程
思想
以不变代变
设某物体作直线运动,
已知速度v = v(t)是时间
间隔[T1, T2]上t的一个连续函数,
在这段时间内所经过的路程.
思路
把整段时间分割成若干小段,
每小
段上速度看作不变,
求出各小段的路程再相加,
便得到路程的近似值,
最后通过对时间的无限
细分过程求得路程的精确值.
定积分的概念与性质
求物体
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(1) 分割
(3) 求和
(4) 取极限
路程的精确值
(2) 取近似
表示在时间区间
内走过的路程.
某时刻的速度
定积分的概念与性质
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二、定积分的定义
设函数f (x)在[a, b]上有界,
在[a, b]中任意插入若干个分点

把区间[a, b]分成n个小区间,
各小区间长度依次为
在各小区间上任取
一点
作乘积
并作和
记
如果不论对[a, b]
(1)
(2)
(3)
(4)
上两例共同点:
2) 方法一样;
1) 量具有可加性,
3) 结果形式一样.
定积分的概念与性质