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青海师专学报(自然科学)
JOURNAL OF QINGHAI JUNIOR TEACHERS’COLLEGE
( Natural Science Edition)
2000 年第 6 期 No6. 2000
势阱中粒子的波函数和能级
刘益民
(广东省韶关大学物理系,广东韶关 512005)
摘要:推导有限深势阱、无限深势阱、δ势阱中粒子的波函数和能级,揭示出无限深势阱、δ势阱可看作是有
限深势阱的特殊情形。
关键词:势阱;波函数;能级
中图分类号:O413. 1 文献标识码:A 文章编号:1007 - 0117(2000) 06 - 0046 - 04
1 有限深势阱
设势阱的中心为 x 轴坐标原点,即
0 | x| ≤a 2
V(x) = (1)
V0 | x| > a 2
a 为势阱宽度,V0 为势阱高度。势阱中粒子的能量为 E。若 E > V0 ,则粒子的状态为游离态,E 可以
取一切实数值,是连续变化的:若 E < V0 ,则可能存在束缚态。下面讨论束缚态(0 < E < V0 ) 情形。
1. 1 波函数
在阱内(| x| ≤a 2) ,定态波动方程为
d2 2mE
Ψ+ Ψ= 0 (2)
dx2 2
m 为粒子的质量。令
k = 2mE (3)
± ±
则方程(2) 的解为Ψ(x) ~sinkx ,coskx 或者 e ikx ,由于 V(x) = V( - x) ,Ψ具有确定宇称,故舍去 e ikx
波函数为
Ψ(x) ~sinkx ,coskx
在阱外(| x| > a 2) ,定态波动方程为
d2 2m
Ψ- (V - E)Ψ= 0 (4)
dx2 2 0
令
收稿日期:2000 - 08 - 10
作者简介:刘益民(1965 —) ,男,广东省韶关大学物理系讲师。
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刘益民:势阱中粒子的波函数和能级
β= 2m(V0 - E) (5)
则方程(4) 的解为
±β
Ψ~e x
由于| x| ∞时,Ψ(x) 0 ,故波函数只能取如下形式
β
e - x x > a 2
Ψ(x) ~ β(6)
e x x > - a 2
1. 2 能级
在阱内(| x| ≤a 2) ,粒子波函数为Ψ(x) ~sinkx 或者 coskx ,因而必须分两种情形讨论。
(a) 波函数取如下形式
β
e - x x > a 2
β
Ψ(x) ~ e x x < - a 2 (7)
sinkx | x| ≤a 2
考虑到Ψ(x) 及Ψ′(x) 在| x| = a 2 处是连续的,故 x = a 2 (或 x = - a 2) 时,由(7) 式有
β
(lnsinkx)′= (lne - x )′
即
- kctg(ka 2) =β(8)
由(3) 、(5) 式得
2 2 2
ξ+η= 2mv0 (9)
由