2010年全国初中数学联赛试卷及解析答案.doc

2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案
第一试
一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)
1. 若均为整数且满足,则( B )
. . . .
,,则可能取的最大值为( C )
. . . .
,且则( C )
A.. B.. C.. D..
,则的值为( A )
A.-13. B.-9. . D. 0.
△中,已知,D,E分别是边AB,AC上的点,且,,,则( B )
°. °. °. °.
,将其各位数字之和记为,如,,则( D )
. . . .
二、填空题:(本题满分28分,每小题7分)
13 .
,B两点,,,则.
△ABC中,AB=BC=5,P是△ABC内一点,且PA=,PC=5,则PB=______.
、黑两种颜色的球摆成一行,要求两种颜色的球都要出现,,最多可以摆放____15___个球.
第二试(A)
一.(本题满分20分)设整数()为三角形的三边长,满足,求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.
解由已知等式可得
①
令,则,其中均为自然数.
于是,等式①变为,即
②
由于均为自然数,判断易知,使得等式②成立的只有两组:和
(1)当时,,.又为三角形的三边长,所以,即,,即,,所以可以取值4,5,6,7,8,对应可得到5个符合条件的三角形.
(2)当时,,.又为三角形的三边长,所以,即,,即,,所以可以取值2,3,4,5,6,7,对应可得到6个符合条件的三角形.
综合可知:符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5+6=11.
二.(本题满分25分)已知等腰三角形△ABC中,AB=AC,∠C的平分线与AB边交于点P,M为△ABC的内切圆⊙I与BC边的切点,作MD//AC,交⊙:PD是
⊙I的切线.
证明过点P作⊙I的切线PQ(切点为Q)并延长,交BC于点N.
因为CP为∠ACB的平分线,所以∠ACP=∠BCP.
又因为PA、PQ均为⊙I的切线,所以∠APC=∠NPC.
又CP公共,所以△ACP≌△NCP,所以∠PAC=∠PNC.
由NM=QN,BA=BC,所以△QNM∽△BAC,故∠NMQ=∠ACB,所以MQ//AC.
又因为MD//AC,所以MD和MQ为同一条直线.
又点Q、D均在⊙I上,所以点Q和点D重合,故PD是⊙I的切线.
三.(本题满分25分)已知二次函数的图象经过两点P,Q.
(1)如果都是整数,且,求的值.
(2)设二次函数的图象与轴的交点为A、B,,求△ABC的面积.
解点P、Q在二次函数的图象上,故,,
解得,.
(1)由知解得.
又为整数,所以,,.
(