2024年高考新题型——数学导数及其应用多选题专项练习及答案.pdf

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?,函数f(x)取得极大值3??a?a?a?a2a?af?????a?b???b,??333333???a??a??a?a?a2a?a当x?,函数f(x)取得极小值f????a?b??b?3?333333??又当x???时,f(x)???;当x???时,f(x)???;要使函数f(x)有且只有一个零点,作草图:..或???a??2a?a?f????0??b?0?3??????332a?a则需?,即?,即b??0,???a??2a?a33f???0?b?0????333????B选项,a??3,b??3,满足上式,故B符合题意;???a??2a?a?f????0??b?0?3??????332a?a则需?,即?,即b???0,???a??2a?a33f???0?b?0????333????D选项,a?0,b?0,不一定满足,故D不符合题意;故选:ABC【点睛】思路点睛:本题考查函数的零点问题,如果函数y?f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不f?a?f?b??0y?f(x)?a,b?断的一条曲线,并且有,那么,函数在区间内有零点,c??a,b?f?c??0f?x??0即存在,使得,这个c也就是方程的根,考查学生的逻辑推理与运算能力,(x)?ex?sinx,x?(??,??),下列结论正确的有()(x)在(0,??)(x)(x)在(??,??)(x)在(??,??)上有两个零点【答案】ABD【分析】根据函数f(x)求得f?(x)与f??(x),再根据f??(x)?0在(??,??)恒成立,确定f?(x)在3??(??,??)上单调递增,及x?(0,??)f?(x)?0,且存在唯一实数x?(?,?),使042f?(x)=0,从而判断A,B选项正确;再据此判断函数f(x)的单调性,【详解】:..由已知f(x)?ex?sinx,x?(??,??)得f?(x)?ex?cosx,f??(x)?ex?sinx,x?(??,??),f??(x)?0恒成立,f?(x)在(??,??)上单调递增,3?3?2????又f?(?)?e4??0,f?(?)?e2?0,f?(0)?2?04223???x?(0,??)时f?(x)?f?(0)?0,且存在唯一实数x?(?,?),使f?(x)=0,即0420ex0??cosx,0所以f(x)在(0,??)上是增函数,且f(x)存在唯一极小值点x,故A,(x)在(??,x)单调递减,(x,??)单调递增,00?又f(??)?e???0?0,f(x)?ex0?sinx?sinx?cosx?2sin(x?)?0,000004f(0)?1?0,所以f(x)在(??,??)上有两个零点,故D选项正确,:ABD.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行:(1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、微积分相联系.(2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数.(3)利用导数求函数的最值(极值),解决生活中的优化问题.(4)??2?????????ax?ax?lnx的图象在点x,fx处与点x,fx处的切线21122均平行于x轴,则()f?x?1,?x?212?7?x?x?xx?f?x??f?x???,????121212?4?16a?f?x?,则只有一个零点3【答案】ACD【分析】af?x?求导,根据题意进行等价转化,得到的取值范围;对于A,利用导数即可得到在?1,???上的单调性;对于B,利用根与系数的关系可得x+x?1;对于C,化简12x?x?xx?f?x??f?x?,构造函数,利用函数的单调性可得解;对于D,将121212:..16a?f??x?f??x??0f?x?f?x?代入,令,可得的单调性,进而求得的极大值小于30,再利用零点存在定理可得解.【详解】1ax2?ax?1f?x??0,??????由题意可知,函数的定义域为,且fx?ax?a??,xx???a2?4a?0?则x,x是方程ax2?ax?1?0的两个不等正根,则?1,解得a?4,12xx??0??12ax??1,???y?ax2?ax?1?0f??x??0当时,函数,此时,f?x??1,???所以在上单调递增,故A正确;因为x,x是方程ax2?ax?1?0的两个不等正根,所以x+x?1,故B错误;1212111x?x?xx?f?x??f?x??1??lnx?ax2?ax?lnx?ax2?ax因为121212a**********?2?11?1??ln?a?1???a??a?lna?,aa2?a?2a11h?a???a?lna??4,???易知函数在上是减函数,2a7h?a??h?4????2ln2则当a?4时,,4?7?x?x?xx?f?x??f?x???,??2ln2所以的取值范围是??,故C正确;121212?4?161616113a?f??x??x??f??x??0x?当时,,令,得或,333x44?1??13??3?f?x?0,,,??则在??上单调递增,在??上单调递减,在??上单调递增,?4??44??4?1?1?f?x?x?f?0f?2??ln2?0所以在取得极大值,且??,,4?4?f?x?所以只有一个零点,:ACD.【点睛】关键点点睛:导数几何意义的应用主要抓住切点的三个特点:①切点坐标满足原曲线方程;②切点坐标满足切线方程;③?x?G?x?,使得函数和对其公共定义域上的任意实数x都满:..F?x??kx?bG?x??kx?by?kx?bF?x?G?x?足:和恒成立,则称此直线为和的“隔1”f?x??x2?x?R?g?x???x?0?h?x??2elnxe离直线,已知函数,,(为自然对数的x底数),则下列结论正确的是()?1?m?x??f?x??g?x?x??,??内单调递增?32?f?x?g?x?“隔离直线,且b的最小值为4f?x?g?x???4,1?“隔离直线”,且k的取值范围是f?x?h?x?y?2ex?“隔离直线”【答案】AD【分析】?1?m?x??f?x??g?x?x??,0求出的导数,检验在??内的导数符号,即可判断选项?32?f?x?g?x?y?kx?b2A;选项B、C可设、的隔离直线为,x?kx?b对一切实数x都成1立,即有??0,又?kx?b对一切x?0都成立,??0,k?0,b?0,根据不等1x2kbf?x?h?x?式的性质,求出、的范围,即可判断选项B、C;存在和的隔离直线,那么该直线过这个公共点,设隔离直线的斜率为k,则隔离直线的方程为??y?e?kx?e,构造函数求出函数的导数,根据导数求出函数的最值.【详解】11Am?x??f?x??g?x??x2?m??x??2x?对于选项:,,xx2?1?1x??,0m??x??2x??0当??时,,?32?x2?1?m?x??f?x??g?x?x??,0所以函数在??内单调递增;故选项A正确?32?f?x?g?x?y?kx?b2对于选项BC:设、的隔离直线为,则x?kx?b对一切实数x都成1立,即有??0,即k2?4b?0,又?kx?b对一切x?0都成立,则1xkx2?bx?1?0,即??0,b2?4k?0,k?0,b?0,即有k2??4b且2b2??4k,k4?16b2??64k,可得?4?k?0,同理可得:?4?b?0,故选项B不正确,故选项C不正确;f?x?h?x?f?x?h?x?对于选项D:函数和的图象在x?e处有公共点,因此存在和的隔离直线,那么该直线过这个公共点,设隔离直线的斜率为k,则隔离直线的方程为:..??y?e?kx?ey?kx?ke?ef?x??kx?ke?e,即,由,可得x2?kx?ke?e?0对于x?R恒成立,则??0,只有k?2e,此时直线方程为y?2ex?e,下面证明h(x)?2ex?e,令G(x)?2ex?e?h(x)?2ex?e?2elnx,??2ex?e,当x?e时,G?(x)?0,当0?x?e时,G?(x)?0,当G?(x)?xx?e时,G?(x)?0,则当x?e时,G(x)取到极小值,极小值是0,?0f?x?g?x?G(x)?2ex?e?h(x)?0,则h(x)?2ex?“隔离直线”y?2ex?e,:AD【点睛】本提以函数为载体,考查新定义,关键是对新定义的理解,考查函数的导数,利用导数求最值,属于难题.?xex,x?1?10.(多选题)已知函数f(x)??x,函数g(x)?xf(x),下列选项正确的是e?,x?1?x3()(0,0)是函数f(x)的零点B.?x?(0,1),x?(1,3),使f(x)?f(x)1212?1?(x)的值域为??e,???x?g(x)?2?2ag(x)?,则实数的取值范围是?2e2?e?,?(,??)e282??【答案】BC【分析】?0,1??1,3?根据零点的定义可判断A;利用导数判断出函数在、上的单调性性,求出各段上的值域即可判断B;利用导数求出函数的最值即可判断C;利用导数求出函数的最值即可判断D.【详解】对于选项A,0是函数f(x)的零点,零点不是一个点,,当x?1时,f?(x)?(x?1)ex,可得,:..当x??1时,f(x)单调递减;当?1?x?1时,f(x)单调递增;所以,当0?x?1时,0?f(x)?e,ex(x?3)当x?1时,f?(x)?,x4当1?x?3时,f(x)单调递减;当x?3时,f(x)单调递增;y?f(x)图像e3所以,当1?x?3时,?f(x)?e,综上可得,选项B正确;271对于选项C,f(x)?f(?1)??,?g(x)?2?2ag(x)?0对于选项D,关于的方程有两个不相等的实数根?关于x的方程g(x)[g(x)?2a]?0有两个不相等的实数根?关于x的方程g(x)?2a?0有一个非零的实数根?x2ex,x?1?g(x)??ex?函数y?g(x)与y?2a有一个交点,且x?0,,x?1??x2当x?1时,g/(x)?ex(x2?2x),当x变化时,g'(x),g(x)的变化情况如下:xx??2?2?2?x?000?x?1g/(x)?0?0?g(x)极大值极小值4ex(x?2)极大值g(?2)?,极小值g(0)?0,当x?1时,g'(x)?e2x3:..当x变化时,g'(x),g(x)的变化情况如下:x11?x?22x?2g/(x)?0?g(x)e极小值e2极小值g(2)?,4y?g(x)图像4e2综上可得,?2a?或2a?e,e24?2e2?ea的取值范围是?,?(,??),??故选:BC【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值,利用导数研究方程的根,考查了转化与化归的思想,属于难题.