等比数列
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[定义]
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前
一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做
等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公差通
常用字母q表示(q≠0).
[等比数列的判定方法]
:
对于数列{an},若,则数列{an}是
等比数列。
对于数列{an},若,则数列{an}是
等比数列
2,等比中项:
2
:
(c,q均是不为零的常数)
是等比数列;
:
( 是常数)
是等比数列;
常用结论
3
[等比中项]
如果在a与b之间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项。
也就是,如果G是a,b的等比中项,那么
即
4
[等比数列的通项公式]
如果等比数列{an}的首项是a1,公比是q,
则等比数列的通项为
[等比数列的前n项和]
5
:如果是等比数列的第m项, 是等比数列的第n项,
且,公比为q,则有
,若,则
{an}是等比数列,Sn是其前n项的和,那么, , 成等比数列
[等比数列的性质]
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例1:各项均为实数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若S10 =10,S30=70,求S40.
解法一:
(利用前n项和公式)
由题意知:
数列{an}的公比q≠1
则
②
①
由②÷ ①得
③
由③÷ ①得
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(用等比数列的性质)
解法二:
设数列{an}的公比q,
由题意得:
成等比数列,且公比为q10.
8
的前n项和为
(1)判断
是什么数列?
(2)求数列
的前n项和Tn.
解:
①当n=1时
当n≥2时
所以是等比数列
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(2)-(1)得
所以是等比数列
或:
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