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简论数学论文导读:
浅谈不等式证明的几种方法
常曼利学号(z80100001001)
摘要不等式证明是高中数学的重点、也是难点,所用到的方法也是很多,涉及的方法有比较法、换元法、综合法、放缩法、反证法、,本文主要是向大家展示不等式证明常用的方法,及证明不等式的技巧和方法. 关键词不等式换元法柯西不等式构造法

一、比较法:
性、,通过合并构成平方
和的形式,,这种方法比较繁琐.
一般情况下适合比较法的题型是:不等式的一边是不含有根式的分式(如),不等式的另一边是常数.
abc3*???例1 设a,b,c?R,求证: b?ca?ca?b2
a1b1c1????? 证明:左边-右边= b?c2a?c2a?b2
= 2a?b?c2b?a?c2c?a?b?? 2(b?c)2(a?c)2(a?b)
a?b?a?cb?a??a?c?b??= 2(b?c)2(a?c)2(a?b)
a?b11b?c11(?)?(?) 2b?ca?c2a?ca?b
c?a11(?) ?2a?bb?c=
(a?b)2(b?c)2(a?c)2
??= 2(b?c)(a?c)2(c?a)(a?b)2(a?b)(b?c)
?0
故 abc3??? b?ca?ca?b2
二、利用均值不等式
*** 均值不等式:a?R,n?N,r?N ?i?1,2,3?n?


111
????a1a2an
n
?a1a2?an?
a1?a2??an?a?a???a
???nn?
r
1r2rn
??? ?
1r
例2 若a,b,c?R*,且a?b?c?1,求证:a?2?b?2?c?2?33
3a?53b?53c?5
?? 222
=9
1
当且仅当a?b?c?等号成立
3
证明:a?2?3?b?2??3c?2?3?
三、
换元法:换元法是数学中应用最广泛的解题方法之一,有些不等式通过
变量替换可以改变问题的结构,便于进行比较、分析,从而起到化难为易、化繁为简、化隐藏为外显的积极效果.
(1) 分母复杂,换元替代
2229???例3 已知a,b,c?R*,求证: a??aa?b?c
*
证明令a?b?x,b?c?y,c?a?z,(x,y,z?R)
则有(a?b?c)?
1
?x?y?z? 2
1119
从而原不等式转化为证明???
xyzx?y?z
?111?
即?x?y?z???x?y?z???9
??
?111?yxzxzy????x?y?z???3?????? ??
?x
y
z?
x
y
x
z
y
z
?9 当且仅当x?y?z时等号成立
2229??? 故 a??aa?b?c
注例1同样可以用换元法
(2)无理不等式,换元去根号
*
例4 若a,b,c?R,且a?b?c?3,求证:a?b?c?3
证明:设x?a,y?,z?,
222
则有x?y?z?3


x?y?z? 所以x?y?z?????1 ??3