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盘点带电粒子在有界磁场中运动之“最”
山东省邹平县第一中学高中部李进
带电粒子在有界磁场中的运动问题,是高中物理学习的重点,对考生的空间想象能力、物理过程的分析能力以及物理规律的综合应用能力都有很高的要求。粒子的运动轨迹往往是一个残缺圆,因此会出现一系列最值。由于此类问题综合性强,思维含量高,具有很强的选拔功能,因此成为历年高考的热点。
 
“最”
 
带电粒子在有界磁场中的匀速圆周运动,其轨迹是圆的一段弧,当速度大小变化时,匀速圆周运动的半径随之变化,轨迹也将发生变化,当带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切或运动轨迹恰好过边界端点时的速度,就是满足条件的最大或最小速度.
 
例题1:如图1宽为d的有界磁场的边界为PQ、MN,一个质量为m,带电荷量为-q的微粒沿图示方向垂直射入磁场,磁感应强度为B,要使该粒子不能从边界MN射出,此粒子入射速度的最大值是多大?
 
 
解析:为了使粒子不能从边界MN射出,轨道半径最大时应与边界MN相切,如图2所示。设粒子的最大轨道半径为R,则有,结合几何关系,解得
 
 
点评:根据该题的已知条件,粒子的速度与圆周运动的半径成正比,圆心一定在过入射点与速度垂直的直线上。因此,可以用“缩放圆”的方法,即在保证圆心在过入射点与速度垂直的直线上的基础上,画半径不断增大的圆(如图2所示),去寻找最大值。
 
“最”
 
由和得带电粒子在磁场中运动时间,时间与速度无关,圆心角越大,则粒子运动时间越长,因此圆心角之“最”决定运动时间之“最”。
 
例题2:如图3所示,相距为R的两块平行金属板M、N正对着放置,s1、s2分别为M、N板上的小孔,s1、s2、O三点共线,它们的连线垂直M、N,且s2O=R。以O为圆心、。D为收集板,板上各点到O点的距离以及板两端点的距离都为2R,板两端点的连线垂直M、N板。质量为m、带电量为+q的粒子,经s1进入M、N间的电场后,通过s2进入磁场。粒子在s1处的速度和粒子所受的重力均不计。当M、N间的电压不同时,粒子从s1到打在D上经历的时间t会不同,求t的最小值。
 
 
解析:M、N间的电压越大,粒子进入磁场时的速度越大,粒子在极板间经历的时间越短,同时在磁场中运动轨迹的半径越大,在磁场中运动的时间也会越短,出磁场后匀速运动的时间也越短,所以当粒子打在收集板D的右端时,对应时间t最短。
 
粒子从s1到达s2的过程中,根据动能定理得
 
粒子进入磁场后在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动,有
 
由几何关系得粒子做匀速圆周运动的轨道半径
 
粒子在电场中运动时间
 
在磁场中运动时间
 
出磁场后匀速直线运动的时间
 
因此,整个运动的最短时间
 
点评:该题考查了一个重要结论:“带电粒子沿径向射入圆形磁场区域,则一定沿径向从磁场中射出”。关键在于判断什么情况粒子运动时间最短。           
 
例题3:(2009年山东高考题)如图甲所示,建立Oxy坐标系,两平行极板P、Q垂直于y轴且关于x轴对称,极板长度和板间距均为l,第一四象限有磁场,方向垂直于Oxy平面向里。位于极板左侧的粒子源沿x轴