巧思妙解2011年高考数学题.doc

巧思妙解2011年高考数学题(上海卷)
1.(理20,文21)已知函数f(x)= a·2x + b·3x,其中常数a,b满足ab≠ 0.
(1)若ab>0,判断函数f(x)的单调性;
(2)若ab<0,求f(x + 1)>f(x)时x的取值范围.
 
【参考答案】
(1)当a>0,b>0时,任意x1,x2∈R, x1<x2,则
f(x1) - f(x2)= a(2x1 - 2x2)+  b(3x1 - 3x2).
∵ 2x1 < 2x2,a>0 a(2x1 - 2x2)<0,
3x1 < 3x2,b>0 b(3x1 - 3x2)<0,
∴ f(x1) - f(x2)< 0,函数f(x)在R上是增函数.
当a<0,b<0时,同理,函数f(x)在R上是减函数.
(2)略
 
·巧思·
 
①利用“增函数的正数倍是增函数”、“增函数的和还是增函数”,情况1的结论便显而易见。
 
②利用“增函数的负数倍是减函数”、“减函数的和还是减函数”,情况2的结论便显而易见。
 
·妙解·
 
若a>0,b>0,则a·2x 和b·3x在R上递增 f(x)在R上递增;
若a<0,b<0,则a·2x 和b·3x在R上递减 f(x)在R上递减.
 
【评注】
 
①利用定义判断或证明固然很好,如能利用某些性质解决问题,则更显得轻松、方便。
 
②上述单调函数的性质经常用到,教师应向学生补充讲解,使之牢固掌握、灵活运用。
 
③“奇函数的和还是奇函数,偶函数的和还是偶函数”,“奇函数与偶函数的积是奇函数”,“奇数个奇函数的积是奇函数,偶数个奇函数的积是偶函数,”这些性质也应当能够掌握。
 
2.(文22)已知椭圆C:(常数m>1),P是曲线C上的动点,M是曲线C的右顶点,定点A的坐标为(2,0).
(1)若M与A重合,求曲线C的焦点坐标;
(2)若m = 3,求∣PA∣的最大值和最小值;
(3)若∣PA∣的最小值为∣MA∣,求实数m的取值范围.
 
【参考答案】
 
(1)略
(2)m = 3,(x,y),则
∣PA∣2 = =(-3 ≤ x ≤3).
当x = 时, ∣PA∣min  = ;当x = - 3时, ∣PA∣max  = 5.
(3)设动点P(x,y),则∣PA∣2 =
=+ 5(- m ≤ x ≤ m).
∵当x = m时,∣PA∣取最小值,且>0,
∴≥m,且m>1,解得1<m≤1 +.
 
·巧思·
 
①利用椭圆的参数方程设点P的坐标,则将“设P(x,y)”与“代入”两步合为一步,而利用余弦函数的有界性也可求出∣PA∣的最值。
 
②将∣PA∣2含有m的表达式(关于x的二次函数)先化为“顶点式”,后再分别代入m的值进行运算,便避免了重复过程,而节省文字、减少篇幅。
 
·妙解·
 
设P(mcosθ, sinθ)∣PA∣2 =(mcosθ-2)2 + sin2 θ
=(m2 -1)cos2 θ- 4mcosθ+ 5 =(m2 -1)
(2)m = 3cosθ=时,∣PA∣min  = ;cosθ= -1时,∣PA∣max  = 5.
(3)θ= 0时, ∣PA∣最小≥1(m>1)1<m≤1 +.
 
【评注】