(1)定义:既有大小又有方向的量叫做向量;向量的大小叫做向量的模
(2)特定大小或关系的向量
①零向量:模为0的向量,记作,其方向是任意的
②单位向量:模为1个单位长度的向量
③共线向量(平行向量):方向相同或相反的非零向量。规定:零向量与任何向量共线
④相等向量:模长相等且方向相同的向量
⑤相反向量:模长相等但方向相反的向量。规定:零向量的相反向量是它本身
①字母表示法:如小写字母a , b , c 等,或,等
②几何表示法:用一条有向线段表示
③代数表示法:即向量的坐标表示法
知识点二:向量的运算
、减法
(1)法则:平行四边形法则、三角形法则
(2)运算律:交换律、结合律
(3)几何意义:
(实数与向量的积)
(1)定义与法则:
(2)运算律:交换律、结合律、分配律
知识点三:定理与公式
:向量与非零向量共线的充要条件是:有且只有一个实数,使得
:如果是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数
:平面上三点A、B、C共线的充要条件是:存在实数,使得,其中,O为平面上任意一点
4.①平面内有任意三点O、A、B,若M是线段AB的中点,则
②中,M为BC边的中点,G为重心,则,
③向量加法的多边形法则
【题型解析】
题型一向量的相关概念
,“”是“”的( )A
A. 充分非必要 B. 必要不充分 C. 充要条件
解析:当时,有
当时,不一定有
方法点评:掌握充分、必要条件的判断;共线向量的定义
知识突破:如图,四边形ABCD,其中,则相等向量是( )D
A
B
C
D
O
A. B.
C. D.
B
N
C
E
M
D
A
题型二向量的运算
,D、E是△ABC中AB,AC边的中点,
M、N分别是DE,BC的中点。已知,,
试用分别表示。
解析:由三角形中位线定理知,故,即
方法点评:用已知向量来表示另外一些向量,要综合利用向量的加减的三角形法则、多边形法则、数乘向量,还要充分利用平面几何的一些定理
知识突破:如图所示,平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M ,且,用表示
A
B
C
D
M
A
A
解析:因为,
所以
题型三共线向量
(1),求证:A,B,C三点共线;
(2)共线,求实数的值。
解析:(1)因为
所以共线;
(2)因为共线,所以存在实数,使,即。
因为不共线,所以,解得,所以
方法点评:从正反两方面考查向量共线的充要条件;三点共线问题可利用共线向量的充要条件
知识突破:已知为两个非零向量,。
试问:A、B、C三点是否共线,为什么?
解析:因为
所以,即A、B、C三点共线
1.【2012高考全国文9】中,边的高为,若,,,,,则
(A) (B) (C) (D)
【答案】D
【解析】如图,在直角三角形中,,则,所以,所以,即,选D.
2.【2012高考重庆文6】设,向量且,则
(A) (B
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