群论在量子力学中的应用sect51矩阵元的计算.ppt

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属于 的基为
属于 的基为
上面定理意为：
——（*）
其中 ，与 和 无关。
= Cjjj
显然， Cj与无关。如归一， Cj＝1。
第五章 群论在量子力学中的应用§ 矩阵元的计算
对于哈密顿算符的矩阵元，据PR的么正和H的对易性，有：
两边对R求和: 左边
右边
其中 ，它是与无关的常数。
∴ ——（**）
——（*）
——（**）
矩阵元定理2：对于不等价的不可约表示或同一个不可约表示的不同列的函数，哈密顿矩阵元为零，而对于同一个表示的相同列的矩阵元都有相同的值。
（*）和（**）两式被称为矩阵元定理。
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§ 能量本征值和本征函数的近似计算
设在S、E ——（Δ）
中待求的函数 可按已知的完整本征函数系列 展开：
——（□）
代入（△），并将方程的两边与 构成内积得：
——（△△）
这是对于未知数 的线性齐次代数方程组。
其解存在的条件是：
——（久期方程）
设：H的对称群为G，
前面已证明：哈密顿H的对称群G的基函数即为H的本征函数。
因此， 可按各套表示的基函数展开：
（ 求和， j为各表示求和）
一般说，上面的求和是无穷级数，为此，只能取其N项作截断近似，而久期方程变为N×N行列式，其根是本征值E，把它代回到（△△）式中去，便得复数 。
一般，N越大，结果越精确，但工作量也随之正比于N!。
应用矩阵元定理，以上工作可大大简化，关键在于重新编排（□）式中的已知函数系，使得它们是H的对称群G的不可约表示的基函数。
这样，久期方程为：
据上节中的矩阵元定理：除了 同时 以外，上式中其余的矩阵元均为零。
∴久期方程为：
其中 是矩阵元，其值：
上式化为：
于是完整的本征值谱可由
即
求得，此式要比原久期方程的求解要简单得多！
另外，由矩阵元定理可知：矩阵元的值与无关。
这就使得对每个不可约表示 有
久期方程为： ， …任意
于是对于每个不可约表示 ，只需解一个 的方程就够了，并因此求出的能量本征值是 重简并的。
以上讨论中，已假定了对于不同的j，其表示只有一个。实际中，还可能有这样的情况：即有1个D(1)，2个D(2)，… j个D(j) … 个D() ，这时按上面同样讨论可得久期方程为准对角的行列式方程，其对角元素有些还是矩阵，尽管如此，它的维数要大大小于原久期方程的维数，从而也大大简化了计算，详细计算这里不作讨论。
1
2
m1维
m2维
微扰引起的对称性的降低
设在体系原哈密顿H0上加上一微扰H'
则系统哈密顿为：
设群G是H0的对称群
群G'是H'的对称群
虽说G'的每个变换都将保持H0不变，但一般G的每个变换并不都能保持H'不变。
因此， G'通常是G的子群。
例：均匀电场 加到氢原子上。
即：氢原子的斯塔克效应
则G（球对称）→ （轴对称）
的加入将引起电子能量中某些简并能级的劈裂，从而引起谱线的分裂。
根据G和 的不可约表示之间的关系可以预言简并能级的分裂:
∵ 是G的子群
∴相应未被微扰的能级 的不可约表示 一般是 的可约表示即：
其中 是 的不可约表示，共有r个