高数同济六版课件D37曲率.ppt

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高数同济六版
曲线的弯曲程度
与切线的转角有关
与曲线的弧长有关
主要内容:
一、 弧微分
二、 曲率及其计算公式
三、 曲率圆与曲率半径
平面曲线的曲率
第三章
2025/2/6
2025/2/6
高数同济六版
设
在(a , b)内有连续导数,
其图形为 AB,
弧长
一、 弧微分
请输入文字内容
01
请输入文字内容
02
若曲线由参数方程表示:
或
则弧长微分公式为
几何意义:
二、曲率及其计算公式
高数同济六版
在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为
对应切线
定义
弧段 上的平均曲率
点 M 处的曲率
注意: 直线上任意点处的曲率为 0 !
转角为
2025/2/6
例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 .
解: 如图所示 ,
可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;
R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .
曲率K 的计算公式
高数同济六版
二阶可导,
4
设曲线弧
5
有曲率近似计算公式
1
故曲率计算公式为
2
又
3
则由
6
2025/2/6
说明:
高数同济六版
若曲线由参数方程
若曲线方程为
给出, 则
则
2025/2/6
例2. 我国铁路常用立方抛物线
高数同济六版
作缓和曲线,
处的曲率.
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说明:
铁路转弯时为保证行车
平稳安全,
求此缓和曲线在其两个端点
且 l << R.
其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度,
离心力必须
连续变化 ,
因此铁道的
曲率应连续变化 .
2025/2/6
例2. 我国铁路常用立方抛物线
高数同济六版
作缓和曲线,
处的曲率.
显然
且 l << R.
解:
求此缓和曲线在其两个端点
其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度,
2025/2/6
在何处曲率最大?
高数同济六版
例3. 求椭圆
解:
故曲率为
最大
最小
求驻点:
2025/2/6