风险管理与金融机构第二版课后习题答案+.docx

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ω1
ω2
μ
δ
























r
市场的语气回报为 12%，无风险利率为 7%，市场回报标准差为 15%。一个投资人在有效边界上构造了一个资产组合，预期回报为 10%
解：由资本市场线可得： r = r
m - rf d ，
p f d p
m

当r = , r
m f
= 7%,d
m

= 15%, r
p
= 10%, 则
d = (r - r )*d
p p f m

/(r - r ) = (10% - 7%)*15% /(12% - 7%)
m f
= 9%
同理可得，当r
p

= 20% ，则标准差为： d

= 39%
p
一家银行在下一年度的盈利听从正太分布，其期望值及标准差分别为资产的 %及2%.股权资本为正，资金持有率为多少。〔1〕设 在 99%置信度下股权资本为正的当前资本金持有率为 A，银行在下一年的盈利占资产的比例为X，由于盈利听从正态分布，因此银行在 99%的置信度下股权资本为正的当前资本金持有率的概率为：P( X > - A)，由此可得
- A - %
P ( X > - A) = 1 - P ( X < - A) = 1 - N (
A + %
) = N (
) = 99% 查 表 得
A + % 2%
%。
2% 2%
=，解得 A=%，即在 99％置信度下股权资本为正的当前资本金持有率为
〔2〕设 在 %置信度下股权资本为正的当前资本金持有率为B，银行在下一年的盈利占资产的比例为 Y，由于盈利听从正态分布，因此银行在 %的置信度下股权资本为正的当前资本金持有率的概率为： P(Y > -B) ，由此可得
- B - %
P (Y > - B ) = 1 - P (Y < - B ) = 1 - N (
B + %
) = N (
) = % 查 表 得
B + % 2%
%。
2% 2%
=，解得 B=% 即在 ％置信度下股权资本为正的当前资本金持有率为
一个资产组合经受主动地治理某资产组合，贝塔系数 ，无风险利率为 5%，回报-30%。资产经理回报为-10%。资产经理市场条件下表现好。评价观点。
该经理产生的阿尔法为a = -- - ´ (- - ) = -
即-8%，因此该经理的观点不正确，自身表现不好。
股票的当前市价为 94 美元，同时一个 3 个月期的、执行价格为 95 美元的欧式期权价格为 美元，一个投资人认为股票价格会涨，但他并不
知道是否应当买入 100 股股票或者买入 2000 个〔相当于 20 份合约〕期权，这
两种投资所需资金均为 9400 美元。在此你会给出什么建议？股票价格涨到什么水平会使得期权投资盈利更好？
设 3 个月以后股票的价格为X 美元〔X>94〕〔1〕当94 < X £ 95美元时，此时股票价格
小于或等于期权执行价格，考虑到购置期权的费用，应投资于股票。
〔2〕当X > 95美元时，投资于期权的收益为：( X - 95) ´ 2000 - 9400 美元，投资于股票的收益为( X - 94) ´100 美元 令( X - 95) ´ 2000 - 9400 = ( X - 94) ´100 解得X= 100 美元
给出的投资建议为：假设 3 个月以后的股票价格：94 < X < 100美元，应买入 100 股股票；
假设 3 个月以后的股票价格X=100 美元，则两种投资盈利一样；假设 3 个月以后股票的价格：
X > 100美元，应买入 2000 个期权，在这种价格下会使得期权投资盈利更好。
一个投资人进入远期合约买入方，执行价格为 K，到期时间为将来某一时刻。同时此投资人又买入一个对应同一期限，执行价格也为 K 的看跌期权，将这两个交易组合会造成什么样的结果？
假设到期标的资产的价格为S，当 S>K，远期合约盈利〔S-K〕，期权不执行，亏损期权费 p, 组合净损益为 S-K-p,当 S<K，远期合约亏损〔K-S〕，期权执行，盈利〔K-S〕，组合净损益为 0。
一个交易员在股票价格为 20 美元时，以保证金形式买入 200 股股票，初
始保证金要求为 60%，维持保证金要求为 30%,交易员最初需要支付的保证金数量为多少？股票在价格时会产生保证金催付？
〔1〕由题目条件可知，初始股票价格为 20 美元，购入了 200 股股票，那么初始股票价值为20´ 200 = 4000 美元，初始预备金为4000´ 60% = 2400 美元.
〔2〕设 当股票价格跌至X 美元时产生预备金催款
当股 票 价格 下跌 至 X 美元 时， 股 票价 值为 200X ， 则 股票 价值下 跌了
200 ´ (20 - X ) 美元 此时保证金余额为 2400 - [200 ´ (20 - X )] 美元，又维持保证
金为 30%，则有： 2400 - [200 ´ (20 - X )] = 解得X » 。
200 X
交易组合价值对于 S&P500 的 dalta 值为- 1000,。估量上涨到 1005 时，交易组合价格为多少？
交易组合价值削减 10500 美元。
一个 DeLta 中的交易组合 Gamma 为 30,估测〔a)的资产突然涨 2 美元〔b)突然跌 2 美元
两种情形下的增长量均为 *30*4=60 美元
一个 Delta 中性交易组合 Gamma 及 Vega 分别为 50 和 3 美元及波动率增加 4%时，交易组合价格变化。
由交易组合价格的泰勒方程开放式得， 交易组合的价格变化=25*4%+1/2*50*(-3)(- 3)=226(美元)，即交易组合的价格增加 226 美元。
一金融机构持有以下场外期权交易组合〔表格〕Delta ，Gamma 为 ，Vega
依据表格信息可以得出组合资产的头寸数量为-(1000+500+2000+500)=-4000；
组合的Delta=(-1000) ´ +(-500) ´ +(-2000) ´(-)+(-500) ´ =-450;
同理可得组合的Gamma=-6000;组合的Vega=-4000;
〔a〕为到达 Gamma 中性，需要在交易组合中参加-(-6000 /) = 4000份期权，参加期权后的 Delta 为-450 + 4000 ´ = 1950 ，因此，为保证的交易组合的 Delta 中性， 需要卖出 1950 份英镑。为使Gamma 中性承受的交易是长头寸，为使Delta 中性承受的交易是短头寸。
(b)为到达 Vega 中性，需要在交易组合中参加-(-4000 / ) = 5000 份期权，参加期权后
的 Delta 为-450 + 5000 ´ = 2550 ，因此，为保证的交易组合的 Delta 中性，需要卖出 2550 份英镑。为使 Vega 中性承受的交易是长头寸，为使 Delta 中性承受的交易是短头寸。
引入其次种交易所交易期权，假定期权 Delta 为 ，Gamma 为 ，Vega 为 ， 承受多少数量的交易可使场外交易组合的Delta，Gamma，Vega 为中性。
首先计算交易组合的Delta，Gamma，Vega
Delta=(-1000)+(-500)+(-2000)x(-)+(-500)=-450
Gamma=(-1000)+(-500)+(-2000)+(-500)=-6000 Vega =(-1000)+(-500)+(-2000)+(-500)=-4000
1


1
+
2
+
2
- 6000 = 0
- 4000 = 0
解得w
1
= 3200,w
2
= 2400
因此，分别参加 3200 份和 2400 份交易所交易期权可使交易组合的 Gamma，Vega 都为中
性。
参加这两种期权后，交易组合的Delta=+-450=1710，因此必需卖出 1710 份根底资产以保持交易组合的Delta 中性。
假定某银行有 100 亿美元 1 年期及 300 亿美元 5 年期贷款，支撑这些资产的是分别为 350 亿美元 1 年期及 50 亿美元的 5 年期存款。假定银行股本为 20 亿美元，而当前股本回报率为 12%。请估量要使下一年股本回报率变为0，利率要如何变化？假定银行税率为 30%。
这时利率不匹配为 250 亿美元，在今后的 5 年，假定利率变化为 t，那么银行的净利息收入每年变化 亿美元。依据原有的 12%的资本收益率有，假设银行净利息收入为 x，既有 x
〔1-30%〕/20=12%，解得净利息收入为 x=24/ =24/7,解得 %。即利率要上升 个百分点。
组合 A 由 1 年期面值 2000 美元的零息债券及 10 年期面值 6000 美元
的零息债券组成。组合 B 是由 年期面值 5000 年期的债券组成，当前债券年收益率 10%〔1〕证明两个组合有一样的久期〔 2〕证明收益率有 %上升两个组合价值百分比变化相等〔 3〕假设收益率上升 5% 两个组合价值百分比变化是多少？
对于组合 A，一年期债券的现值 B
a1
= 2000 ´ e- = ，十年其债券的现值
1´ + ´10
B = 6000 ´ e-´10 = 组合 A 的久期为
a 2
 +
= 由于
组合 B 的久期亦为 ，因此两个组合的久期相等〔2〕由于收益率上升了 %，上升幅
DP = -P D Dy
度比较小，因此A,B 组合价值的变化可以分别由以下公式表示： D A A A
P = -P D Dy
B B B
所以有
DP = -D
; DP = -D
A
P Dy
A
A P Dy B B
B
由〔1〕可知组合A 与组合B 的久期相等，因此两个组合价值变化同利率变化的百分比一样。
〔3〕由于收益率上升了 5%，上升幅度较大，因此 A，B 组合价值的变化可分别表示
1 1
为： DP
A
= -P
A
D Dy +
A
C P
B
2 A A
(Dy)2 ; DP
B
= -P
B
D Dy + C P
B 2 B B
(Dy)2
DP
所以有 A
= -D
1 C
Dy ;
DP = -D
1 C Dy
P Dy
A
2 A
P Dy
B
2 B
可以计算得到组合A ´12 + ´102 »
+
组合 B 的曲率为 5000 ´ »
5000
分别把数据代入公式，计算得到
DP = - + 1 ´ ´ 5% = -
A
P Dy 2
DAP
B
= - + 1 ´ ´ 5% = -
P Dy 2
B
因此，假设收益率上升 5%，两种组合价值变化同利率变化的百分比分别为- 和- .
上题中的交易组合的曲率是是多少？a 久期和 b 曲率多大程度上
解释了上题第三问中组合价值变化的百分比。
曲率的公式为，C=错误！未找到引用源。*错误！未找到引用源。 ，有A 组合，CA= 错误！未找到引用源。〔t12*p1+t22*p2〕式中，PA=，t1 =1，t2 =10， P1=2000*e- ,P2=6000*e-*10,则有 CA= 。B 组合，CB= 。〔1〕对于
A 交易组合，依据公式，
久期衡量交易组合价格对收益率曲线平行变化的敏感度有以下近似式，
错误！未找到引用源。B=-D*B*错误！未找到引用源。=-*5%=-，
曲率衡量交易组合价格对收益率曲线平行变化的敏感度有以下更准确的关系式， B=- D*B*错误！未找到引用源。 +错误！未找到引用源。 *B*C*(错误！未找到引用源。 )2, 则有错误！未找到引用源。=-*5%+错误！未找到引用源。**(5%)2=- 而实际交易组合价格对收益率变化的百分比为， 错误！未找到引用源。=-，与曲率关系式结果大体全都，这个结果说明，债券收益率变化较大时，曲率公式比久期公式更准确。〔2〕 对于 B 交易组合，依据公式,
久期衡量交易组合价格对收益率曲线平行变化的敏感度有以下近似式，
错误！未找到引用源。B=-D*B*错误！未找到引用源。=-*5%=-，
曲率衡量交易组合价格对收益率曲线平行变化的敏感度有以下更准确的关系式， B=- D*B*错误！未找到引用源。 +错误！未找到引用源。 *B*C*(错误！未找到引用源。 )2, 则有错误！未找到引用源。=-*5%+错误！未找到引用源。**(5%)2=-。
而实际交易组合价格对收益率变化的百分比为， 错误！未找到引用源。=-，与曲率关系式结果大体全都，
这个结果说明，债券收益率变化较大时，曲率公式比久期公式更准确。
Var 与预期亏损的区分？预期亏损的特长？
VaR 是指在肯定的知心水平下损失不能超过的数量；预期亏损是在损失超过 VaR 的条件下损失的期望值，预期亏损永久满足次可加性〔风险分散总会带来收益〕条件。
光谱型风险度量
一个风险度量可以被理解为损失分布的分位数的某种加权平均。VaR 对于第 x 个分位数设定了 100%的权重，而对于其它分位数设定了 0 权重，预期亏损对于高于x%的分位数的全局部位数设定了一样比重，而对于低于 x%的分位数的分位数设定了 0 比重。我们可以对分布中的其它分位数设定不同的比重，并以此定义出所谓的光谱型风险度量。当光谱型风险度 量对于第 q 个分位数的权重为 q 的非递减函数时，这一光谱型风险度量肯定满足全都性条件。
公告说明，其治理基金一个月展望期的 95%VaR=资产组合价值的 6%。在你基金中有10w 美元，如何理解公告
有 5%的时机你会在今后一个月损失 6000 美元或更多。
公告说明，其治理基金一个月展望期的 95%预期亏损=资产组合价值的 6%，在你基金中有 10w 美元，如何理解公告
在一个不好的月份你的预期亏损为 60000 美元，不好的月份食指最坏的 5%的月份
某两项投资任何一项都有 %触发 1000w 美元损失，而有 %触发 100w 美元损失，并有正收益概率为 0，两投资相互独立。〔a)对于 99%置信水平，任一项投资 VaR 多少〔b〕选定 99%置信水平，预期亏损多少 〔c〕叠加，99%置信水平 VaR 多少(d)叠加，预期亏损〔e)说明 VaR 不满足次可加性条件但预期亏损满足条件
(1)由于 %的可能触发损失为 100 万美元，故在 99%的置信水平下，任意一项损失的VaR 为 100 万美元。
选定 99%的置信水寻常，在 1%的尾局部布中，有 %的概率损失 1000 万美元，
%的概率损失 100 万美元，因此，任一项投资的预期亏损是
% %
´100 + ´1000 = 910万美元
1% 1%
´ = 的概率损
失为 2000 万美元，有 ´ = 的概率损失为 200 万美元，有
2 ´ ´ = 的概率损失为 1100 万美元，由于 99%=%+%，因
此将两项投资迭加在一起所产生的投资组合对应于99%的置信水平的VaR 是 1100 万美元。
选定 99%的置信水寻常，在 1%的尾局部布中,有 %的概率损失 2000 万美元，有 %的概率损失 1100 万美元，因此两项投资迭加在一起所产生的投资组合对应于 99%的置信水平的预期亏损是
´ 2000 + ´1100 » 1107万美元

由于 1100 > 100´ 2=200，因此VaR 不满足次可加性条件， 1107 < 910 ´ 2=1820，因此预期亏损满足次可加性条件。
9．6 假定某交易组合变化听从正态分布，分布的期望值为 0。标准差为 200w 美元。〔a) 一天展望期的 % VaR 为多少(b)5 天为多少〔c)5 天展望期 99%VaR 为多少？
〔1〕1 天展望期的 % VaR 为 200 N -1 ()=200*=392
5
〔2〕5 天展望期的 % VaR 为
〔3〕1 天展望期的 99% VaR 为 392*
*392=
N -1 ()
=392* =466
因此，5 天展望期的 99% VaR 为
N -1 ()
5
*466=1042

假定两投资任意一项都有 4%概率触发损失 1000w 美元，2%触发损失 100w 美元，94% 盈利 100w 美元。〔a)95%置信水平，VaR 多少〔b)95%水平的预期亏损多少 〔c〕叠加， 99%置信水平 VaR 多少(d)叠加，预期亏损〔e)说明 VaR 不满足次可加性条件但预期亏损满足条件
对应于 95%的置信水平，任意一项投资的VaR 为 100 万美元。
选定 95%的置信水寻常，在 5%的尾局部布中，有 4%的概率损失 1000 万美元，1% 的概率损失 100 万美元，因此，任一项投资的预期亏损是
4% ´1000 + 1% ´100 = 820万美元
5% 5%
´ = 的概率损失
2000 万美元，有 ´ = 的概率损失 200 万美元，有 ´ = 的概盈利 200 万美元，有 2 ´ ´ = 的概率损失 1100 万美元，有
2 ´ ´ = 的概率损失 900 万美元，有 2´ ´ = 的概率不亏损也不盈利，由 =++++,因此将两项投资迭加在一起所产生的投资组合对应于 95%的置信水平的VaR 是 900 万美元。
选定 95%的置信水寻常，在 5%的尾局部布中,有 %的概率损失 2000 万美元，
有 %的概率损失 1100 万美元，有 %的概率损失 900 万美元，因此，两项投资迭加在一起所产生的投资组合对应于 95%的置信水平的预期亏损是
% ´ 900 + % ´1100 + % ´ 2000 »
5% 5% 5%
由于 900 > 100 ´ 2=200，因此VaR 不满足次可加性条件，
< 820 ´ 2=1640，因此预期亏损满足次可加性条件。
某一资产的波动率的最估量值为 % 昨天价格 30 美元 EWMA
中 λ为 假定今日价格为 EWMA 模型将如何对波动率进展更
在这种情形下， s n-1 = ， m n = ( - 30) / 30 = ，由式(9-8)我们可得出
s 2 = ´ + ´ 2 =

n
因此在第n 天波动率的估量值为
= ，即 %。
w= α= β= 长期平均波动率为多少 描述波动率会收敛到长期平均值的方程是什么 假设当前波动率是 20% 20 天后波动率的期望值是多少

长期平均方差为ω /〔 1-α- β〕，即 =，长期平均波动率为
=%，描述方差回归长期平均的方程式为 E[σ2 n+k]=VL+(α+β)k(σ2 n- VL) 这时 E[σ2 n+k]=+〔σ 2 n- 〕假设当前波动率为每年
252
20%，σ n=/ =, 在 20 天后预期方差为 +〔 -

〕= 因此 20 天后预期波动率为 =，即每天 %。
w= α= β= 波动率近似为 % 估量 20 天后的每天波动率
把V =，a =， T =20 以及V (0) = 带入公式
L
s (T)2 = 252{V +
L
1-e-aT
a T
[V (0) -V ]}得到波动率为 %。
L
股票价格为 32
用两种方法估量股票价格波动率
周数 股票价格
价格比 S / S
i i-1
每天回报u = ln(S - S )
i i i-1
0

1
32


2


-
3


-
4



5



6



7
33


8


-
9
33


10



11

1
0
12



13


-
å
14
此时， u
i

= ，

å
u2 =
-
13
14´(14-1)
i
-
周收益率标准差的估量值为
=
即周波动率为 %
2 ´14
每周波动率的标准差为 = 或每周 %
昨天收盘价 300 美元 波动率 % 今日收盘价 298 〔1〕承受 ewma 其中 λ=〔2〕garch 模型 w= α= β=
在这种情形下， s

n-1
= ， m
n
= (298 - 300) / 300 = - ，由式(9-8)我们
可得出s 2
n
= ´ + ´ 2
=

因此在第n 天波动率的估量值为
= ，即 %。
这里GARCH(1,1)模型为s 2
n
= + m 2
n-1
+ 2
n -1
由(a)知，s
2
n-1
=
= ， m 2
n -1
= (-)2
= ，因此
s 2 = + ´ + ´ =
n
对于波动率的最估量为s 2
n
= =，即每天 %。
VaR = s N -1 ( X ) (1) s =1000/ =
VaR = s N -1 (99%) =*=〔万美元〕
〔2〕 Prob(n > x)= Kx-a K = /1000-3 = 50000000
3 k/
= Kx-3 所以x = =