高中数学知识点(精炼).pdf

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数学(理) 考试能力注重应用意识和创新意识

命题体现数学学科的性质和特点，注重对数学基础知识、基本技能、数学思想
和方法的考查，注重对考生数学素养和解决问题能力的考查，鼓励考生多角度、
创造性地思考和解决问题。

考试范围是《普通高中数学课程标准(实验)》中的必修课程内容和选修系列 2
的内容以及选修系列 4－5 的部分内容，内容如下：

数学 1：集合、函数概念与基本初等函数Ⅰ(指数函数、对数函数、幂函数)。

数学 2：立体几何初步、平面解析几何初步。

数学 3：算法初步、统计、概率。

数学 4：基本初等函数Ⅱ(三角函数)、平面上的向量、三角恒等变换。

数学 5：解三角形、数列、不等式。

选修 2－1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。

选修 2－2：导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数的引入。

选修 2－3：计数原理、统计案例、概率。

选修 4－5：不等式的基本性质和证明的基本方法。

知识点


数学 1：集合、函数概念与基本
初等函数Ⅰ(指数函数、对数函数、幂
函数)。
一 集合 : .
知识点：
一．集合的概念、分类：
二．集合的特征：
⑴ 确定性 ⑵ 无序性 ⑶ 互异性
三．表示方法：
⑴ 列举法 ⑵ 描述法 ⑶ 图示法 ⑷ 区间法
四．两种关系：
从属关系：对象  、 集合；包含关系：集合  集合
五．三种运算：
交集： A  B  {x | x  A且x  B}
并集： A  B  {x | x  A或x  B}
补集： A  {x | x  U且x  A}
U
六．运算性质：
A    A ， A     ．
空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集．
若 A  B ，则 A  B  A ， A  B  B ．
集合{a , a , a , , a }的所有子集的个数为 2n ，所有真子集的个数为 2n 1所
1 2 3 n
有非空真子集的个数为 2n  2
二 函数概念与基本初等函数Ⅰ
知识点：
指数与对数运算
一．分数指数幂与根式：
如果 xn  a ，则称 x 是 a 的 n 次方根，0 的 n 次方根为 0，若a  0 ，则当n 为
奇数时，a 的 n 次方根有 1 个，记做 n a ；当n 为偶数时，负数没有n 次方根，正
数 a 的 n 次方根有 2 个，其中正的 n 次方根记做 n a ．负的 n 次方根记做 n a ．
1．负数没有偶次方根； : .
 a n为奇数
2．两个关系式： (n a)n  a ； n an  
| a | n为偶数
m
3、正数的正分数指数幂的意义： a n  n am ；
m 1

正数的负分数指数幂的意义： a n  ．
n am
4、分数指数幂的运算性质：
⑴ am  an  amn ； ⑵ am  an  amn ；
⑶ (am )n  amn ； ⑷ (a b)m  am bm ；
⑸ a0  1 ，其中 m 、 n 均为有理数， a ， b 均为正整数
二．对数及其运算
1．定义：若 ab  N (a  0 ，且 a  1， N  0) ，则 b  log N ．
a
2．两个对数：
⑴ 常用对数： a  10 ， b  log N  lg N ；
10
⑵ 自然对数： a  e  ， b  log N  ln N ．
e
3．三条性质：
⑴ 1 的对数是 0，即 log 1  0 ；
a
⑵ 底数的对数是 1，即 log a  1；
a
⑶ 负数和零没有对数．
4．四条运算法则：
M
⑴ log (MN)  log M  log N ； ⑵ log  log M  log N ；
a a a a N a a
1
⑶ log M n  n log M ； ⑷ log n M  log M ．
a a a n a
5．其他运算性质：
⑴ 对数恒等式： alogab  b ；
log a
⑵ 换底公式： log b  c ；
a log b
c
⑶ log b log c  log c ； log b log a  1 ；
a b a a b : .
n
⑷ log bn  log b ．
am m a
函数的概念
一．映射：设 A、B 两个集合，如果按照某中对应法则 f ，对于集合 A 中的任
意一个元素，在集合 B 中都有唯一的一个元素与之对应，这样的对应就称
为从集合 A 到集合 B 的映射．
二．函数：在某种变化过程中的两个变量 x 、 y ，对于 x 在某个范围内的每一个
确定的值，按照某个对应法则， y 都有唯一确定的值和它对应，则称 y 是 x
的函数，记做 y  f (x) ，其中 x 称为自变量， x 变化的范围叫做函数的定义
域，和 x 对应的 y 的值叫做函数值，函数值 y 的变化范围叫做函数的值域．
三．函数 y  f (x) 是由非空数集 A 到非空数集 B 的映射．
四．函数的三要素：解析式；定义域；值域．
函数的解析式
一．根据对应法则的意义求函数的解析式；
例如：已知 f ( x 1)  x  2 x ，求函数 f (x) 的解析式．
二．已知函数的解析式一般形式，求函数的解析式；
例如：已知 f (x) 是一次函数，且 f [ f (x)]  4x  3 ，函数 f (x) 的解析式．
三．由函数 f (x) 的图像受制约的条件，进而求 f (x) 的解析式．
函数的定义域
一．根据给出函数的解析式求定义域：
⑴ 整式： x  R
⑵ 分式：分母不等于 0
⑶ 偶次根式：被开方数大于或等于 0
⑷ 含 0 次幂、负指数幂：底数不等于 0
⑸ 对数：底数大于 0，且不等于 1，真数大于 0
二．根据对应法则的意义求函数的定义域：
例如：已知 y  f (x) 定义域为[2,5] ，求 y  f (3x  2) 定义域；
已知 y  f (3x  2) 定义域为[2,5] ，求 y  f (x) 定义域； : .
三．实际问题中，根据自变量的实际意义决定的定义域．
函数的值域
一．基本函数的值域问题：
名称 解析式 值域
一次函数 y  kx  b R
4ac  b2
a  0 时，[ , )
4a
二次函数 y  ax2  bx  c
4ac  b2
a  0 时， (, ]
4a
k
反比例函数 y  {y | y  R ，且 y  0}
x
指数函数 y  ax {y | y  0}
对数函数 y  log x R
a
y  sin x