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高 中 数 学 知 识 点 大 全 打
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-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN : .
高中数学常用公式及结论大全(新课标)
必修 1
1、集合的含义与表示
一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。它具
有三大特性：确定性、互异性、无序性。集合的表示有列举法、描述法。
描述法格式为：{元素|元素的特征}，例如{x | x  5,且x  N}
2、常用数集及其表示方法
（1）自然数集 N（又称非负整数集）：0、1、2、3、……
（2）正整数集 N*或 N ：1、2、3、……
+
（3）整数集 Z：-2、-1、0、1、……
（4）有理数集 Q：包含分数、整数、有限小数等
（5）实数集 R：全体实数的集合
（6）空集Ф：不含任何元素的集合
3、元素与集合的关系：属于∈，不属于
例如：a 是集合 A 的元素，就说 a 属于 A，记作 a∈A
4、集合与集合的关系：子集、真子集、相等
（1）子集的概念
如果集合 A 中的每一个元素都是集合 B 中的元素，那么集合 A 叫做集合 B 的子集
(如图 1)，记作 A  B 或 B  A . A,B
B A 或
(图
若集合 P 中存在元素不是集合 Q 的元素，那么 P 不包含于 Q，
记作 P  Q
（2）真子集的概念
若集合 A 是集合 B 的子集，且 B 中至少有一个元素不属于 A,那么集合 A 叫
B A
做集合 B 的真子集(如图 2).  或  .
A  B B  A
(图
（3）集合相等：若集合 A 中的元素与集合 B 中的元素完全相同则称集合 A 等于集
合 B,记作 A=B.
A  B, B  A  A  B

5、重要结论（1）传递性：若 A  B ， B  C ，则 A  C
2 : .
（2）空Ф集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集.
6、含有 n 个元素的集合,它的子集个数共有 2n 个；真子集有 2n –1 个；非空子集
有 2n –1 个(即不计空集)；非空的真子集有 2n –2 个.
7、集合的运算：交集、并集、补集 A  B
（1）一般地，由所有属于 A 又属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集．
记作 A∩B（读作＂A 交 B＂），即 A∩B=｛x|x∈A，且 x∈B｝．
（2）一般地，对于给定的两个集合 A,B 把它们所有的元素并在一起所组成的集合,
A  B
叫做 A,B 的并集．记作 A∪B（读作＂A 并 B＂），即 A∪B=｛x|x∈A，或 x∈
B｝．
（3）若 A 是全集 U 的子集，由 U 中不属于 A 的元素构成的集合，
 
叫做 A 在 U 中的补集，记作 C A C A  x | x  U,且x  A
U , U
C A A
U
注：讨论集合的情况时，不要发遗忘了 A   的情况。
8、映射观点下的函数概念
如果 A，B 都是非空的数集，那么 A 到 B 的映射 f：A→B 就叫做 A 到 B 的函
数，记作 y=f(x)，其中 x∈A，y∈ A 叫做函数 y=f(x)的定义域，象的
集合 C（C  B）叫做函数 y=f(x) y=f(x)表示“y 是 x 的函数”，有时
简记作函数 f(x).
2x 1
9、分段函数：在定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数。如 y  
 x2  3

x  0

x  0
10、求函数的定义域的原则：（解决任何函数问题，必须要考虑其定义域）
3 : .
1
①分式的分母不为零；如 : y  ,则x 1  0
x 1
②偶次方根的被开方数大于或等于零；如 : y  5  x,则5  x  0
③对数的底数大于０且不等于１；如 : y  log (x  2),则a  0且a  1
a
④对数的真数大于０；如 : y  log (x  2),则x  2  0
a
⑤指数为０的底不能为零；如 : y  (m 1) x ,则 m 1  0
11、函数的奇偶性（在整个定义域内考虑）
（1）奇函数满足 f (x)   f (x) ， 奇函数的图象关于原点对称；
（2）偶函数满足 f (x)  f (x) ， 偶函数的图象关于 y 轴对称；
注：①具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称; ②若奇函数在原点有定义,
则 f (0)  0
③根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、
非奇非偶函数。
12、函数的单调性（在定义域的某个区间内考虑）
当 x  x 时，都有 f (x )  f (x ) ，则 f (x) 在该区间上是增函数，图象从左到右
1 2 1 2
上升；
当 x  x 时，都有 f (x )  f (x ) ，则 f (x) 在该区间上是减函数，图象从左到右
1 2 1 2
下降。
函数 f (x) 在某区间上是增函数或减函数，那么说 f (x) 在该区间具有单调性，
该区间叫做单调（增/减）区间
13、一元二次方程 ax2  bx  c  0 (a  0)
 b  b2  4ac
（1）求根公式: x  （2）判别式：   b2  4ac
1,2 2a
（3）   0 时方程有两个不等实根；   0 时方程有一个实根；   0 时方程无
实根。
b c
（4）根与系数的关系——韦达定理: x  x   ， x  x 
1 2 a 1 2 a
14、二次函数：一般式 y  ax2  bx  c (a  0) ； 两根式 y  a(x  x )(x  x ) (a  0)
1 2
y
b 4ac  b2 b
（1）顶点坐标为 ( , ) ；（2）对称轴方程为：x=  ； x
2a 4a 2a
0
b 4ac  b2
（3）当 a  0 时，图象是开口向上的抛物线，在 x=  处取得最小值
2a 4a
b 4ac  b2
当 a  0时，图象是开口向下的抛物线，在 x=  处取得最大值
2a 4a
（4）二次函数图象与 x 轴的交点个数和判别式  的关系：
4 : .
  0 时，有两个交点；   0 时，有一个交点（即顶点）；   0 时，无交
点。
15、函数的零点
使 f (x)  0 的实数 x 叫做函数的零点。例如 x  1 是函数 f (x)  x2 1的一个
0 0
零点。
注：函数 y  f x有零点  函数 y  f x的图象与 x 轴有交点  方程 f x 0 有实根
16、函数零点的判定：
如果函数 y  f x在区间 a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有
f (a)  f (b)  0 。那么，函数 y  f x在区间 a,b内有零点，即存在
c  a,b,使得f c 0 。
17、分数指数幂 （ a  0, m, n  N ，且 n  1 ）
m 3 m 1 3
 1 1 
（1） a n  n am .如 x3  x 2 ；(2) a n   . 如  x 2 ；（3）
m n m 3
a x
a n
( n a )n  a ；
a, a  0
（4）当 n 为奇数时， n an  a ； 当 n 为偶数时， n an | a |  .