代数几何中的认知问题.ppt

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代数学习中的认知对象和过程
等号/字母/代数式/方程/函数/化简/解方程
van Hiele的几何思维发展理论
直观/描述分析/抽象关系/形式演绎/严谨
关于代数认知的观点
代数是什么？代数认知的发展阶段
关于几何认知的观点
几何是什么？几何的教学目的？
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代数、几何中的认知问题
01
代数究竟是什么的观点，会影响到教师、学生对代数内容的理解。
十九世纪上半叶，英国数学家们对代数的本质发生过辩论，提出了有关代数的认识论问题。
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一、关于代数认知的观点
是研究整数、小数、分数的性质及其四则运算的一门学科。整数运算满足
01
加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、分配律；
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算术
一、关于代数认知的观点
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初等代数研究的对象是代数式的有限次运算和方程的求解。十条规则：
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加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、分配律；
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等式两边同时加上一个数，等式不变；等式两边同时乘以一个非零的数，等式不变；
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同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方等于底数不变指数相乘；积的乘方等于乘方的积。
一、关于代数认知的观点
初等代数的基本内容就是：
三种数——有理数、无理数、复数
三种式——整式、分式、根式
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中心内容是方程——整式方程、分式方程、根式方程和方程组。
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高等代数——研究更多的未知数、更高次的方程。
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一、关于代数认知的观点
引进字母表示数
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数学的发展就实现了由算术向代数的飞跃。
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一、关于代数认知的观点
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代数是什么?
代数是算术的推广
强调代数对象的起源。在处理量和有关的运算的过程中，算术量的性质化为了一般性的性质。
例如：算术中的加法、乘法交换律、结合律在代数中作了一般化处理。
局限性：代数中研究的负数、无理数、虚数产生的合理性说明存在问题。因为它们都不是由算术推广得来的，不能用直观测量的方法获得。
代数有自己发展出来的法则，如矩阵它不满足乘法交换律。
一、关于代数认知的观点
代数是一个纯符号的体系
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它可以按照任意规定的法则，在系统中处理任意的符号及其关系。
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弊端：学生会忽略现实代数情境的意义，把握不到问题的基础。
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教学中不能让学生产生“代数是符号游戏”的看法，而应帮助他们找到适当的理解问题的立足点。
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一、关于代数认知的观点

（1）语词阶段。在公元250年以前，人们还没有用符号来表示量和未知量，而是使用普通的词语来表达和解决特定的问题。
（2）简略阶段。公元250年左右起到16世纪，从古希腊数学家丢番图开始，用相应词语的缩写字母表示未知数。但是，当时的数学家所关心的，是使用符号表示具体的某个量，而不是一般的量。
（3）符号阶段。到16世纪末，数学家Vieta（韦达）开始采用任意的字母来表示已知量了，这时才有可能将方程的一般解表示出来。代数进而变成一种工具，能够提供数值关系的普遍性的法则。
一、关于代数认知的观点
Harper的研究认为，学生会随着学习的深入、数学知识的增长和智力的成熟，经历从用字母表示未知量到用字母表示已知量的转变过程。而要达到将字母理解为变量的水平，需要经历熟练使用字母的若干阶段。