有限域离散数学省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件.pptx

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有限域(Galois域)
定义. 只有有限个元素域称为有限域，或
Galois域。
设F是一个有限域，则
F特征不可能是0
F特征为质数p ，以RP为其最小子域
设F为q元域，则F中q-1个非0元素在乘法下作成一个q-1元群,因而都适合方程хq-1=，
F中q-1个非零元素都是多项式хq-1 -1 根， F中q个元素都是多项式хq –х根。
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F中q-1个非0元素恰是全部q-1次单位根，而F全部q个元素恰是多项式
хq-х全部根。
证实：多项式хq-1-1最多只能有q-1个根。但
F非0元素已经是它q-1个不一样根，所
以F非0元素恰是хq-1-1全部根，因而
也就是全部q-1次单位根。类似地能够说明
F全部元素恰是хq-х全部根。
( 例)
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结论：特征p必不能整除q-1
证实： （反证）不然(хq-1-1)’=(q-1) хq-2=0,
因而хq-1-1有重根，。
Fq-1个非0元素在乘法下作成一
个q-1元循环群，其（q-1）个生成元素恰是
Φq-1（х）全部根。
证实：F既然包含хq-1-1全部根，自然也包
含Φq-1(х)根，
( 设n不是F特征倍数,并设
Φn(х)在F中有根。于是，F中恰有n个n次单位
根，它们在乘法下作成一个n元循环群，其
(n)个生成元素恰是Φn(х)全部根。) ，
可知该定理成立。
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引理. 设F是q元有限域，特征为p，
设ψ(х)为Φq-1(х)在Rp[х]中一个n次质式,
ξ是ψ(х)在F中一个根。
于是，F中任意元素α能够唯一地表为
a0 + a1ξ + a2ξ2 + … + an-1ξn-1
形式，其中a0，a1，…an-1∈Rp。
证实：要求Rp[х]到F一个映射σ以下：
ƒ(х)→ ƒ(ξ)
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证实
(1)往证σ是Rp[х]到F上映射。
显然,σ(0)=0。
任取α∈F, α≠0,于是α是q-1次单位根，
因为ξ是ψ(х)根而
ψ(х)∣Φq-1(х)，所以ξ是本原q-1
次单位根，因而α=ξk，从而
xk∈Rp[х],使 σ(хk)=ξk=α.
所以σ是Rp[х]到F上映射。
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证实
(2)往证σ是Rp[х]到F同态映射。
σ(ƒ(x)+g(x))=ƒ(ξ)+g(ξ)=σ(ƒ(x))+σ(g(x))，
σ(ƒ(x)g(x))=ƒ(ξ)g(ξ)=σ(ƒ(x))σ(g(x))
(3) 设σ核为主理想ρ(х)Rp[х]()。
因ξ是ψ(х)根,σ(ψ(х))=ψ(ξ)=0,所以
ψ(х)在核内，故ρ(х)∣ψ(х)。因为ψ(х)
不可约，ρ(х)或是常元素或与ψ(х)相通。
因为F不只有一个元素0，所以σ核不能是
Rp[х]全部，因而ρ(х)不是常元素。可见
ρ(х)与ψ(х)相通，而σ核能够写成
ψ(х)Rp[х]形式。
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证实
上面已证出σ是Rp[х]到F上同态映射，同态核为ψ(х)Rp[х]，所以
(4) 可表性。任取α∈F,有f(x)∈Rp[х]，使得
σ(f(x))= α,以ψ(x)除ƒ(x)：
ƒ(x)= q(x)ψ(x)+ r(x)， 次r(x)≤n-1。
故, α=σ(f(x))= ƒ(ξ)
=σ(q(x)ψ(x)+ r(x))= q(ξ)ψ(ξ)+ r(ξ)
= q(ξ) 0+ r(ξ)=r(ξ)
因而α = a0 + a1ξ + a2ξ2 + … + an-1ξn-1 .
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证实
(5) 证表法唯一。设r(х),s(х)是最多n-1
次Rp上面多项式， α=r(ξ)=s(ξ)，
欲证r(x)=s(x)。因为r(ξ)- s(ξ)=0，故
r(x)-s(x)在σ核内,因而
ψ(x)∣r(x)-s(x)。
但次ψ(x)= n>次(r(х)-s(х))，故
r(x)-s(x)只能是多项式0。
证毕。
F中元素个数q = pn。
因 α = a0 + a1ξ + a2ξ2 + … + an-1ξn-1 中n个系数每个有p种取法
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有限域元数q必为pn形式，其中p为其特征。
假如同构域看作是一样，则对任意q=pn恰
有一个q元有限域。
证实： q = pn已证。
(1)唯一性。
设F,F’都是q元有限域,则它们都包含Rp为其子域。
取Φq-1(х)一个不可约因Ψ(х),据引理证
明，
所以，若同构域看作一样，对任意q=pn最多
只能有一个q元有限域。
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