模煳数学教案02ppt省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件.pptx

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§ 含糊矩阵
定义1 设R = (rij)m×n，若0≤rij≤1，则称R为含糊矩阵. 当rij只取0或1时，称R为布尔(Boole)矩阵. 当含糊方阵R = (rij)n×n对角线上元素rii都为1时，称R为含糊自反矩阵.
定义2 设A=(aij)m×n,B=(bij)m×n都是含糊矩阵，
相等：A = B  aij = bij；
包含：A≤B  aij≤bij；
并：A∪B = (aij∨bij)m×n；
交：A∩B = (aij∧bij)m×n；
余：Ac = (1- aij)m×n.
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含糊矩阵并、交、余运算性质
幂等律：A∪A = A，A∩A = A；
交换律：A∪B = B∪A，A∩B = B∩A；
结合律：(A∪B)∪C = A∪(B∪C),
(A∩B)∩C = A∩(B∩C)；
吸收律：A∪(A∩B) = A，A∩(A∪B) = A；
分配律：(A∪B)∩C = (A∩C )∪(B∩C)；
(A∩B)∪C = (A∪C )∩(B∪C)；
0-1律： A∪O = A，A∩O = O；
A∪E = E，A∩E = A；
还原律：(Ac)c = A；
对偶律： (A∪B)c =Ac∩Bc, (A∩B)c =Ac∪Bc.
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含糊矩阵合成运算与含糊方阵幂
设A = (aik)m×s，B = (bkj)s×n，定义含糊矩阵A 与B 合成为：
A ° B = (cij)m×n，
其中cij = ∨{(aik∧bkj) | 1≤k≤s} .
含糊方阵幂
定义：若A为 n 阶方阵，定义A2 = A ° A，A3 = A2 ° A，…，Ak = Ak-1 ° A.
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合成(° )运算性质：
性质1：(A ° B) ° C = A ° (B ° C)；
性质2：Ak ° Al = Ak + l，(Am)n = Amn；
性质3：A ° ( B∪C ) = ( A ° B )∪( A ° C )；
( B∪C ) ° A = ( B ° A )∪( C ° A )；
性质4：O ° A = A ° O = O，I ° A=A ° I =A；
性质5：A≤B，C≤D  A ° C ≤B ° D.
注：合成(° )运算关于(∩)分配律不成立，即
( A∩B ) ° C  ( A ° C )∩( B ° C )
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( A∩B ) ° C
( A ° C )∩( B ° C )
( A∩B ) ° C  ( A ° C )∩( B ° C )
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含糊矩阵转置
定义 设A = (aij)m×n, 称AT = (aijT )n×m为A转置矩阵，其中aijT = aji.
转置运算性质：
性质1：( AT )T = A；
性质2：( A∪B )T = AT∪BT，
( A∩B )T = AT∩BT；
性质3：( A ° B )T = BT ° AT；( An )T = ( AT )n ；
性质4：( Ac )T = ( AT )c ；
性质5：A≤B  AT ≤BT .
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证实性质3：( A ° B )T = BT ° AT；( An )T = ( AT )n .
证实：设A=(aij)m×s, B=(bij)s×n, A °B=C =(cij)m×n,
记( A ° B )T = (cijT )n×m , AT = (aijT )s×m , BT = (bijT )n×s ,
由转置定义知,
cijT = cji , aijT = aji , bijT = bji .
BT ° AT= [∨(bikT∧akjT )]n×m
=[∨(bki∧ajk)]n×m
=[∨(ajk∧bki)]n×m = (cji)n×m
= (cijT )n×m= ( A ° B )T .
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含糊矩阵 - 截矩阵
定义7 设A = (aij)m×n,对任意∈[0, 1]，称
A= (aij())m×n,
为含糊矩阵A - 截矩阵, 其中
当aij≥ 时，aij() =1；当aij＜ 时，aij() =0.
显然，A - 截矩阵为布尔矩阵.
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对任意∈[0, 1]，有
性质1：A≤B  A ≤B；
性质2：(A∪B) = A∪B，(A∩B) = A∩B；
性质3：( A ° B ) = A ° B；
性质4：( AT ) = ( A )T.
下面证实性质1： A≤B  A ≤B 和性质3.
性质1证实： A≤B  aij≤bij；
当 ≤aij≤bij时， aij() =bij() =1；
当aij＜ ≤bij时， aij() =0, bij() =1；
当aij≤bij＜时， aij() = bij() =0；
总而言之aij()≤bij()时， 故A ≤B .
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