浙江省高考数学理二轮专题复习：第14课时-空间角与距离省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件.pptx

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专题四 立体几何与空间量
第14课时 空间角与距离
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1．空间角主要包含：(1)两异面直线所成角；(2)线面角；(3)二面角．
2．空间角计算步骤：一作，二证，三计算．
3．异面直线所成角范围：0°<θ≤90°，方法:平移直线法，直线与平面所成角范围：0°≤θ≤90°，方法：作垂线，找射影．求二面角方法：定义法，三垂线定理及其逆定理，垂面法，射影公式S′=S·cosθ.
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4．用向量法求解空间角有较大优势．
(1)求异面直线所成角：设a，b分别为异面直线a，b方向向量，则两异面直线所成角余弦值cosα = .
(2)求线面角：设向量l是斜线l方向向量，n是平面α法向量，则斜线l与平面α所成角正弦值sinθ= .
(3)求二面角：(方法一)在α内a⊥l，
在β内b⊥l，其方向如右图，则二面角
α-l-β平面角余弦值cosθ= .
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(方法二)设n1，n2是二面角α-l-β两个半平面法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角α-l-β平面角余弦值cosθ= .
5．空间距离主要是点到面距离，求解方法：直接法、等体积法、向量法．
用向量法求距离公式：
(1)点A到平面α距离：(重点)
d= ，其中B∈α，n是平面α法向量．
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(2)直线a与平面α之间距离：(转化为点到面距离)
d= ，其中A∈a，B∈α，n是平面α法向量．
(3)两平行平面α，β之间距离：(转化为点到面距离)
d= ，其中A∈α，B∈β，n是平面α法向量．
(4)异面直线a，b之间距离：(转化为点到辅助平面距离)
d= ，其中n⊥a，n⊥b，A∈α，B∈b.
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【例1】(鄂州二模)如图，正方形A1BA2C边长为4，D是A1B中点，E是BA2上点，将△A1DC及△A2EC分别沿DC和EC折起，使A1A2重合于A，且二面角A—DC—E为直二面角．
(1)求BE长；
(2)求AD与平面AEC所成角正弦值．

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结合翻折问题求线面角关键是确定折前、折后对应线段之间关系．
(1)因为A1、A2重合于A，
所以AC⊥AD，AC⊥AE，
故AC⊥平面ADE，所以AC⊥DE.
因为A-DC-E为直二面角，
所以过A作AF⊥CD于F，则AF⊥平面CDE，
故CD为AC在平面CDE上射影，由三垂线定理逆
定理有，CD⊥DE.
在Rt△CAD中，AD=2，AC=4，
所以DC=2 ，AF= ，
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求线面角惯用方法：①垂线法：过线上一点直接作面垂线，则射影与斜线所成角就是线面角(关键是找到垂足)；②等体积法：当垂足不好确定时，能够不确定，用等体积法求距离，从而求得线面角；③向量法．
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