定积分的概念与性质(IV).ppt

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第一节 定积分的概念和性质（二）
一、基本内容
演讲人姓名
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一、基本内容
在下面的性质中，假定定积分都存在，且若无特别说明则不考虑积分上下限的大小．
对定积分的【补充规定】
【说明】
【证】
【性质1】
（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）
（逐项积分）
【性质2】
［首尾相接］
（积分区间的可加性）
【性质3】
【补充】不论a,b,c的相对位置如何, 上式总成立.
【推广】
则
［例］若
【证】
【性质5】（不等式性质）——比较性质
【证】
【性质4】
【几何意义明显】
—保号性
【解】
令
于是
【性质5的推论】
【证】
［推论1］
【证】
［推论2］
【说明】
01
03
02
04
05
【性质6】（估值性质）
【证】
01
（此性质可用于估计积分值的大致范围）
02
【解】
03
［复习］闭区间上的连续函数求最值的一般方法.
04
【解】
【性质7】（定积分中值定理）
【证】
由闭区间上连续函数的介值定理的推论知：
积分中值公式
使
即
数值
【积分中值公式的几何解释】
【注意】

（见下节例6）
微分中值定理的
，积分中值公式不论a>b还是a<b都是成立的.
，
表示连续曲线 在 上的平均高度.
为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边
而高为f(ξ)的一个矩形的面积。
亦即函数 在 上的平均值.
它是有限个数的平均值概念的拓广
【解】
由积分中值定理知有
使
【分析】去掉积分号才容易求极限，则想到用积分中值定理
等价无穷小代换最简单