定积分的物理应用.ppt

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转动惯量
变力沿直线所做的功
引力
一、转动惯量
设质点的质量为m, 绕轴 l 转动，角速度为,
则线速度为 v =  r, 转动动能为
E=1/2 m ( r)2 = 1/2 J2
转动惯量
例1 求长为l , =1的细杆关于y轴的转动惯量.
x
y
o
l
解 x(0, l ) , 把小段[x,x+dx]视为质量集中于x 处的质点，则m=x = dx
dJ=dmx2 = x2 dx
（J = m r2 )
例2 有一质量为M, 半径为R的均匀圆片，求
（1）对垂直圆面中心轴的转动惯量；
（2）对直径的转动惯量。
解 （1）与轴等距离的点转动惯量相同
故 x(0, R) , 视位于[x,x+dx]
的小圆环质量是集中于x 处的质点，
dJ=dmx2 =  x2 dA =
dJ=dmx2 =
（2） x(0, R) , 视小细条[x,x+dx]的质量
集中于x 处，
物体在变力F(x)的作用下，从x轴上a点移动到 b点，
求变力所做的功。
在[a,b]上考虑小区间[x, x+x]，在此小区间上
wdw=F(x)dx
将dw从a到b求定积分，就得到所求的功
问题：
用积分元素法
二、变力沿直线所作的功
o
r
2
3
1
解
功元素
所求功为
如果要考虑将单位电荷移到无穷远处
点击图片任意处播放\暂停
解
建立坐标系如图
用积分元素法
这一薄层水的重力为
功元素 :
(千焦)．
解
设木板对铁钉的阻力为
第一次锤击时所作的功为
例3 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功相等，问第 n 次锤击时又将铁钉击入多少？
设 次击入的总深度为 厘米
次锤击所作的总功为