导数的几何意义(102).ppt

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演讲者：
回顾
①平均变化率
函数y=f(x)的定义域为D,∈D,f(x)从x1到x2平均变化率为:
②割线的斜率
O
A
B
x
y
Y=f(x)
x1
x2
f(x1)
f(x2)
x2-x1=△x
f(x2)-f(x1)=△y
回顾
以平均速度代替瞬时速度，然后通过求极限，
从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.
从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:
由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:
注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负.
自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择
哪种形式, Δy也必须选择与之相对应的形式.
回顾
导数的几何意义:
P
Pn
o
x
y
y=f(x)
割线
切线
T
我们发现,当点Pn沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线P .
问题:
割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k
有什么关系?
割线PPn的斜率:
设相对于 的增加量为 , ,则
当点Pn无限趋近于点P即Δx→0时,
kn无限趋近于切线PT的斜率k.
那么当Δx→0时,割线PPn的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.
即:
这个概念:
①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;
②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.
P
Q
o
x
y
y=f(x)
割线
切线
T
因此,函数f(x)在x=x0处的
导数就是切线PT的斜率.
[“在”点P处的切线的斜率].
注意：曲线在某点处的切线，与该点的位置有关;要根据割线是否有极限位置来判断与求解.
如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;
如不存在,则在此点处无切线;曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,
可以有多个,甚至可以无穷多个.
圆的切线定义并不适用于一般的曲线。
通过逼近的方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为切线（交点可能不惟一）适用于各种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的直观本质。