方程求根的二分法.ppt

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教学目的
1. 掌握解非线性方程（组）的二分法和插值法；
2. 掌握解非线性方程（组）的一般迭代法及有关收敛性的证明与牛顿法；
3. 掌握解非线性方程（组）的牛顿法
4. 了解加速收敛的方法。
教学重点及难点
重点是解非线性方程（组）的牛顿法；
难点是迭代法的收敛性的证明。
单击此处添加副标题
，≥.
而在工程和科学技术中许多问题常归结为求解非线性方程式问题。例如在控制系统的设计领域中，在研究人口增长率等问题中都最后可化为方程求根的问题。
第6章 非线性方程和方程组的数值解法
1
2
3
f(x)=0 ()
方程f(x)=0的根, 亦称为函数f(x)的零点
在科学研究和工程设计中, 经常会遇到的一大类问题是非线性方程
的求根问题，其中f(x)为非线性函数。
如果f(x)可以分解成 , 其中m为正整数且 ,则称x*是f(x)的m重零点,或称方程f(x)=0的m重根。当m=1时称x*为单根。若f(x)存在m阶导数,则是方程f(x)的m重根(m>1) 当且仅当
引言
当 f (x)不是x的线性函数时，称对应的函数方程为非线性方程。如果f(x)是多项式函数，则称为代数方程，否则称为超越方程（三角方程，指数、对数方程等）。一般称n次多项式构成的方程
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为n次代数方程,当n＞1时,方程显然是非线性的.
一般稍微复杂的3次以上的代数方程或超越方程,很难甚至无法求得精确解。本章将介绍常用的求解非线性方程的近似根的几种数值解法.
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通常方程根的数值解法大致分为三个步骤进行
判定根的存在性。即方程有没有根？如果有
离开来，这个过程实际上是获得方程各根的
根，有几个根？
确定根的分布范围。即将每一个根用区间隔
初始近似值.
根的精确化。将根的初始近似值按某种方法
逐步精确化，直到满足预先要求的精度为止.
本章介绍方程的迭代解法，它既可以用来求解代数方程，也可以用来解超越方程，并且仅限于求方程的实根。
运用迭代法求解方程的根应解决以下两个问题：
确定根的初值;
将进一步精确化到所需要的精度。
二分法
二分法又称二分区间法,是求解方程()的近似根的一种常用的简单方法。
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)f(b)<0,根据连续函数的性质可知, f(x)= 0在
(a,b)内必有实根,称区间[a,b]为有根区间。为明确起见,假定方程f(x)=0在区间[a,b]内有惟一实根x*。
二分法的基本思想是: 首先确定有根区间,将区间二等分, 通过判断f(x)的符号, 逐步将有根区间缩小, 直至有根区间足够地小, 便可求出满足精度要求的近似根。
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为了确定根的初值，首先必须圈定根所在的范围，
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称为圈定根或根的隔离。
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在上述基础上，采取适当的数值方法确定具有一定
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精度要求的初值。
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对于代数方程，其根的个数（实或复的）与其次数
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相同。至于超越方程，其根可能是一个、几个或无
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解，并没有什么固定的圈根方法
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求方程根的问题，就几何上讲,是求曲线 y=f (x)与
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x轴交点的横坐标。
确定有根区间的方法
由高等数学知识知, 设f (x)为区间[a,b]上的单值连续, 如果f (a)·f (b)<0 , 则[a,b]中至少有一个实根。如果f (x)在[a,b]上还是单调地递增或递减，则仅有一个实根。
由此可大体确定根所在子区间，方法有：
(1) 画图法
(2) 逐步搜索法
y=f(x)
a
b
y
x
大致位置。
画出y = f (x)的略图，从而看出曲线与x轴交点的
01
与 2(x)两曲线交点的横坐标所在的子区间即为含根
区间。
例如 xlogx-1= 0
可以改写为logx=1/x
画出对数曲线y=logx,与双曲线y= 1/x,它们交
点的横坐标位于区间[2,3]内
也可将f (x) = 0分解为1(x)= 2(x)的形式，1(x)
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(1) 画图法