8.3-直线、平面平行的判定与性质(试题部分).docx

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　直线、平面平行的判定与性质
探考情 悟真题
【考情探究】
考点
内容解读
5年考情
预测热度
考题示例
考向
关联考点

(1)以立体几何的有关定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行、面面平行的有关性质与判定定理,并能够证明相关性质定理.
(2)能运用线面平行、面面平行的判定及性质定理证明空间图形的平行关系
2018江苏,15,14分
直线和平面平行的判定
面面垂直的判定
★★★
2017江苏,15,14分
直线和平面平行的判定
线线垂直的判定、面面垂直的性质
2016课标Ⅱ,14,5分
直线和平面平行的判定和性质
线面角、线面垂直的性质

2019课标Ⅱ,7,5分
面面平行的判断
充要条件
★★☆
分析解读　　从近5年高考情况来看,本节内容一直是高考的热点,主要考查直线与平面及平面与平面平行的判定和性质,常设置在解答题中的第(1)问,难度中等,通过线面平行的判定与性质考查考生的直观想象、逻辑推理的核心素养.
破考点 练考向
【考点集训】
考点一　直线与平面平行的判定与性质
1.(2019河南洛阳尖子生4月联考,4)设l,m是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,且l⊂α,m⊂β,下列结论正确的是(　　)
⊥β,则l⊥β ⊥m,则α⊥β
∥β,则l∥β ∥m,则α∥β
答案　C　
2.(2020届江西抚州一调,9)如图所示,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱DD1的中点,F是侧面CDD1C1上的动点,且B1F∥面A1BE,则F在侧面CDD1C1上的轨迹的长度是(　　)
2

答案　D　
3.(2019皖南八校三联,18)如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,点M为PB的中点,底面ABCD为梯形,AB∥CD,AD⊥CD,AD=CD=PC=12AB.
(1)证明:CM∥平面PAD;
(2)求平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的大小.
解析　(1)证明:取PA的中点E,连接DE,ME.
因为M是PB的中点,
所以ME∥AB,ME=12AB.(2分)
又AB∥CD,CD=12AB,
所以ME∥CD,ME=CD.(3分)
所以四边形CDEM为平行四边形,
所以DE∥CM.
因为DE⊂平面PAD,CM⊄平面PAD,
所以CM∥平面PAD.(5分)
(2)取AB的中点N,,又PC⊥平面ABCD,故可以以C为原点,CD,CN,CP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
3
设AD=CD=PC=12AB=1,则C(0,0,0),P(0,0,1),A(1,1,0),D(1,0,0),B(-1,1,0),(7分)
则PA=(1,1,-1),AD=(0,-1,0),设平面PAD的法向量为m=(x,y,z),则有PA·m=0,AD·m=0,令x=1,得m=(1,0,1).(9分)
同理可求得平面PBC的一个法向量为n=(1,1,0),(10分)
所以cos<m,n>=m·n|m||n|=12,即平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小为π3.(12分)
考点二　平面与平面平行的判定与性质
1.(2018安徽黄山二模,4)下列说法中,错误的是(　　)
∥平面β,平面α∩平面γ=l,平面β∩平面γ=m,则l∥m
⊥平面β,平面α∩平面β=l,m⊂α,m⊥l,则m⊥β
⊥平面α,平面α⊥平面β,则l∥β
∥平面α,平面α∩平面β=m,直线l⊂平面β,则l∥m
答案　C　
2.(2019内蒙古呼和浩特模拟,6)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,当点Q在　　　　位置时,平面D1BQ∥平面PAO.(　　) 


答案　D　
4
炼技法 提能力
【方法集训】
方法1　证明直线与平面平行的方法
1.(2019广西柳州一模,19)如图,已知AB⊥平面ACD,DE∥AB,AD=AC=DE=2AB=2,且F是CD的中点,AF=3.
(1)求证:AF∥平面BCE;
(2)求证:平面BCE⊥平面CDE.
证明　(1)取CE中点P,连接FP、BP,∴PF∥DE,且FP=1,又AB∥DE,且AB=1,∴AB∥FP,且AB=FP,∴四边形ABPF为平行四边形,∴AF∥∵AF⊄平面BCE,BP⊂平面BCE,∴AF∥平面BCE.
(2)∵AD=AC=2,F是CD的中点,AF=3,
∴△ACD为正三角形,AF⊥CD,
∵AB⊥平面ACD,DE∥AB,
∴DE⊥平面ACD,又AF⊂平面ACD,∴DE⊥AF,
又AF⊥CD,CD∩DE=D,∴AF⊥平面CDE,
又BP∥AF,∴BP⊥平面CDE,
又∵BP⊂平面BCE,∴平面BCE⊥平面CDE.
2.(2020届山西大同调研,17)如图,已知菱形ABCD的边长为6,∠BAD=60°,AC∩BD=O,将△ABC沿对角线AC折起,使面BAC⊥面ACD,得到三棱锥B-ACD,点M是棱BC的中点.
(1)求证:OM∥平面ABD;
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(2)求证:平面ABC⊥平面MDO.
证明　(1)由题意知,O为AC的中点,
∵M为BC的中点,∴OM∥AB,
又∵OM⊄平面ABD,AB⊂平面ABD,
∴OM∥平面ABD.
(2)∵四边形ABCD是菱形,∴OD⊥AC,
又将△ABC沿对角线AC折起,使面BAC⊥面ACD,且面BAC∩面ACD=AC,
∴OD⊥平面ABC,
∵OD⊂平面MDO,
∴平面ABC⊥平面MDO.
3.(2019内蒙古包头二模,19)如图,三棱锥P-ABC中,点C在以AB为直径的圆O上,平面PAC⊥平面ACB,点D在线段AB上,且BD=2AD,CP=CA=3,PA=2,BC=4,点G为△PBC的重心,点Q为PA的中点.
(1)求证:DG∥平面PAC;
(2)求点C到平面QBA的距离.
解析　(1)证明:连接BG并延长交PC于E,连接AE,
∵G是△PBC的重心,∴BG=2EG,
又BD=2AD,
∴DG∥AE,又DG⊄平面PAC,AE⊂平面PAC,
6
∴DG∥平面PAC.
(2)连接CQ,∵点C在以AB为直径的圆O上,
∴AC⊥BC,又平面PAC⊥平面ACB,平面PAC∩平面ACB=AC,
∴BC⊥平面PAC.
∵CP=CA=3,PA=2,Q为PA的中点,
∴CQ⊥PA,CQ=AC2-AQ2=22,
∴VB-PAC=13S△PAC·BC=13×12×2×22×4=823,
又PB=PC2+BC2=5,AB=AC2+BC2=5,
∴PB=AB,∴PA⊥BQ,∴BQ=AB2-AQ2=26,
∴S△PAB=12×PA×BQ=26,
设C到平面PAB的距离为d,
则VC-PAB=13S△PAB·d=263d,
∴263d=823,解得d=433.
∴点C到平面QBA的距离为433.
方法2　证明平面与平面平行的方法
1.(2018安徽合肥一中模拟,18)如图,四边形ABCD与ADEF均为平行四边形,M,N,G分别是AB,AD,EF的中点.
(1)求证:BE∥平面DMF;
(2)求证:平面BDE∥平面MNG.
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证明　(1)如图,连接AE,则AE必过DF与GN的交点O,
连接MO,则MO为△ABE的中位线,所以BE∥MO,
又BE⊄平面DMF,MO⊂平面DMF,所以BE∥平面DMF.
(2)因为N,G分别为平行四边形ADEF的边AD,EF的中点,
所以DE∥GN.
又DE⊄平面MNG,GN⊂平面MNG,所以DE∥平面MNG.
因为N为AD的中点,M为AB的中点,所以MN为△ABD的中位线,所以BD∥MN,
又BD⊄平面MNG,MN⊂平面MNG,所以BD∥平面MNG,
又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线,
所以平面BDE∥平面MNG.
2.(2019安徽蚌埠二模,18)如图所示,菱形ABCD的边长为2,∠D=60°,点H为DC的中点,现以线段AH为折痕将菱形折起,使点D到达点P的位置且平面PHA⊥平面ABCH,点E,F分别为AB,AP的中点.
(1)求证:平面PBC∥平面EFH;
(2)求平面PAH与平面PBC所成锐二面角的余弦值.
解析　(1)证明:菱形ABCD中,E,H分别为AB,CD的中点,
所以BE􀱀CH,所以四边形BCHE为平行四边形,则BC∥EH,
又EH⊄平面PBC,
所以EH∥平面PBC.(3分)
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因为点E,F分别为AB,AP的中点,所以EF∥BP,
又EF⊄平面PBC,
所以EF∥∩EH=E,
所以平面PBC∥平面EFH.(6分)
(2)连接AC,菱形ABCD中,∠D=60°,则△ACD为正三角形,又H为DC的中点,菱形边长为2,
∴AH⊥CD,AH=3,DH=PH=CH=1.
折叠后,PH⊥AH,
又平面PHA⊥平面ABCH,平面PHA∩平面ABCH=AH,
∴PH⊥平面ABCH.
又∵AH⊥CD,∴HA,HC,HP三条直线两两垂直,
以HA,HC,HP的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系(图略),
则P(0,0,1),C(0,1,0),B(3,2,0),CB=(3,1,0),CP=(0,-1,1),(9分)
设平面PBC的法向量为m=(x,y,z),
则m·CB=0,m·CP=0,即3x+y=0,-y+z=0,
令y=-3,得x=1,z=-3,
∴m=(1,-3,-3).
∵平面PAH的一个法向量n=(0,1,0),
∴cos<m,n>=-37=-217,
设平面PAH与平面PBC所成锐二面角为α,
则cos α=217.(12分)
【五年高考】
A组　统一命题·课标卷题组
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1.(2019课标Ⅱ,7,5分)设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是(　　)


,β平行于同一条直线
,β垂直于同一平面
答案　B　
2.(2016课标Ⅱ,14,5分)α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:
①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.
②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.
③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β.
④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.
答案　②③④
B组　自主命题·省(区、市)卷题组
1.(2018浙江,6,4分)已知平面α,直线m,n满足m⊄α,n⊂α,则“m∥n”是“m∥α”的(　　)


答案　A　
2.(2019江苏,16,14分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为BC,AC的中点,AB=BC.
求证:(1)A1B1∥平面DEC1;
(2)BE⊥C1E.
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证明　本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系等基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力.
(1)因为D,E分别为BC,AC的中点,所以ED∥AB.
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB∥A1B1,所以A1B1∥ED.
又因为ED⊂平面DEC1,A1B1⊄平面DEC1,
所以A1B1∥平面DEC1.
(2)因为AB=BC,E为AC的中点,所以BE⊥AC.
因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱,所以C1C⊥平面ABC.
又因为BE⊂平面ABC,所以C1C⊥BE.
因为C1C⊂平面A1ACC1,AC⊂平面A1ACC1,C1C∩AC=C,
所以BE⊥平面A1ACC1.
因为C1E⊂平面A1ACC1,所以BE⊥C1E.
3.(2019天津,17,13分)如图,AE⊥平面ABCD,CF∥AE,AD∥BC,AD⊥AB,AB=AD=1,AE=BC=2.
(1)求证:BF∥平面ADE;
(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值;
(3)若二面角E-BD-F的余弦值为13,求线段CF的长.