高等数学电子教案省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖PPT课件.pptx

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第三章 微分中值定理与导数应用
这一章提供了各种各样方法来研究函数。这其中
又提供了两种求极限方法---洛必达法则与泰勒式；另
外利用微分中值定理,函数单调性，凹凸性，泰勒公式
又可处理一大类不等式及等式证实，结合上面连续函
数性质,又可讨论方程根分布。
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函数在一点导数描述了函数在某一点改变性质—
改变率，它是函数在该点一个局部性质。有时候，我们
要研究函数在整个定义域上改变形态，这就是要了解函
数在其定义域上整体性质。而函数局部性质与整体性
质是经过中值定理表示。这些中值定理是微分学基
础，它联络着导数许多应用。
第一节 微分中值定理
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一. 罗尔(Rolle)定理
首先，我们看图,其中连
续曲线弧AB是函数y=f(x)， (x∈[a,b])图形。此图形
两个端点纵坐标相等，
即f(a)=f(b)，且除了端点外
处处有不垂直于x轴切
线。
x
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可发觉在曲线弧最高点或最低点C处，曲线有水
，那么有 = 0。我
f(x)≤f(x0) (或f(x)≥f(x0))，那么 =0.
们用数学语言来描述这个情况,先介绍费马定理。
引理(费马定理) 设函数f(x)在点x0某一邻域U(x0)内有
定义而且在x0处可导, 假如对任意x∈U(x0)，有
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当△x < 0时
b
x
y
o
ξ
a
A
B
C
证实: 设x∈U(x0)时, f(x)≤f(x0) [对f(x)≥f(x0)能够一样证实]
对于x0+△x ∈U(x0),有
f(x0+△x )—f(x0) ≤0,
当△x > 0时
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依据函数f(x)在x0点可导条件,再由极限保号性，便得到
= 0 证实完成。
通常称导数为0点为函数驻点，
(或称为稳定点,临界点)
所以
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罗尔定理
设函数f(x)满足
(1)在闭区间[a,b]上连续
(2)在开区间(a,b)内可导，
(3)在区间端点处函数值相等,即f(a)=f(b)，
则在(a,b)内最少存在一点ξ，使得函数f(x)在该点导数
等于0, 即有 (a<ξ<b) (1)
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证实: 因为函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,那么它在该区
间上必定存在最大值M和最小值m,下面我们分两种情况来证实定理1
a
x
y
f(x)=k
b
o
即f(x)在[a,b]上是常数;
所以在(a,b)内任意一点C有f’(C)=0
(1) 设M=m 由
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知道在(a,b)内取得M或m值点ξ,有
x
y
f(x)=k
a
b
o
M
m
ξ1
ξ2
(2)设M≠m,必有m<M,因为f(a)=f(b),所以在区间两
端,函数f(x)不可能同时取到最大值和最小值,M和
m中最少有一个是在(a,b)内到达, 由费马定理我们
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