高等数学教案省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖PPT课件.pptx

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函数幂级数展开
三个问题：
１．什么是函数Taylor展开式？
２．泰勒展开式是否就收敛于某指　　
定函数？
３．怎样展开？（重点）
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多项式是含有良好分析性质简单函数，那么能否把一个较复杂函数表示成一个多项式来讨论？
普通来说，这不轻易办到．不过能否用幂级数呢？在一些条件下这是可能，也是在实际应用中非常主要方法．
一、泰勒级数
假定函数
点有任意阶导数，则
在
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尤其地，取
时，叫麦克劳林级数．
Maclaurin
叫做
在
处泰勒级数，
叫做泰勒系数．
只要作一个简单变量替换就可把泰勒级数化为麦克劳林级数．以下我们就只讨论后者．
泰勒级数前n＋１项和叫做
n阶泰勒多项式．
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函数泰勒级数与其n阶泰勒多项式差叫n阶泰勒余项．
可用以表示误差，是进行近似计算基础．
上述余项形式并不便于应用，常见余项形式有
，叫Lagrange型余项．
叫Peano型余项．
前者用于定量讨论，后者用于定性讨论．
介于0与x之间
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二、函数泰勒级数是否收敛于原来函数？
对一个函数，只要其任意阶导数存在，就能够写出它泰勒级数，那么这个幂级数收敛于原来函数吗？
答案是：不一定．
这就是说，写出泰勒级数也不能用．只有在收敛部分（收敛到已知函数）才有意义．
那么在什么样条件下，一个函数能用其泰勒级数表示呢？
我们有下面收敛定理：
若
在
有任意阶导数，且
n阶
泰勒余项趋于０（当
时），则
可
展开为泰勒级数．
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即
此时，在x点泰勒级数收敛于
三、怎样把一个函数展开为其泰勒级数
把一个函数展开为幂级数（麦克劳林级数）有二法：直接法和间接法．
１．直接方法：
１）求各阶导数
２）写出泰勒级数；
３）求出泰勒级数收敛区间；
４）在收敛区间内，余项是否趋于０？
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例１　求
幂级数展开式．
解
故已知函数泰勒级数为
此级数收敛区间是
而泰勒余项绝对值
所以
幂级数展开式为
注意补充必要步骤
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例2
解
在讨论余项
时，可简化为讨论是否存在M,
使
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例3
解
牛顿二项式推广
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例子中我们略去了讨论余项步骤！
注意:
你能利用牛顿二项式展开式写出
泰勒展开式吗？
此级数称为二项式级数
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