高考数学复习空间向量与立体几何省公开课一等奖百校联赛赛课微课获奖PPT课件.pptx

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高考数学
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=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3);
a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3);
λa=(λa1,λa2,λa3);
a·b=①    a1b1+a2b2+a3b3    ;
a∥b(b≠0)⇔a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3;
a⊥b⇔②    a1b1+a2b2+a3b3=0    .
(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2),则 =③　(x2-x1,y2-y1,z2-z1)    .
这就是说,一个向量在空间直角坐标系中坐标等于表示这个向量有向线段终点坐标减起点坐标.
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(1)已知a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),
则|a|= = ,
|b|= = ,
cos<a,b>=  (a,b≠0).
(2)已知A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),
则| |= =④         ,这就是空间两
点间距离公式.

(1)点面距离公式:P为平面α外一点,a、n分别为平面α斜向量 (O∈
α)和法向量,d为P到α距离,则d=|a|·|cos<a,n>|= ;
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(2)线面距离转化为点面距离;
(3)面面距离转化为点面距离;
(4)异面直线距离公式:设n为异面直线l1、l2公垂线上方向向量,a为l1、l2上两点连线向量(a与n不共线),d为l1、l2距离,则d=|a||cos<a,n>|= .

(1)异面直线所成角公式:设a、b分别为异面直线l1、l2方向向量,θ为异面直线所成角,则cos θ=|cos <a,b>|=⑤         .
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(2)线面角公式:设l为平面α斜线,a为l方向向量,n为平面α法向量,θ
为l与α成角,则sin θ=|cos<a,n>|= .
(3)面面角公式:设n1、n2分别为平面α、β法向量,二面角为θ,则θ=<n1,n2>或θ=π-<n1,n2>(需要依据详细情况判断相等或互补),其中cos<n1,n2>= .
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用空间向量求解空间角方法
用空间向量求角大小惯用方法:
(1)线线角:设两异面直线a,b所成角为θ,m,n分别是a,b方向向量,则有cos θ=|cos<m,n>|= .
(2)直线与平面所成角:设直线AB与平面α所成角为θ,平面α法向量为n,则有sin θ=|cos< ,n>|= .注意,直线和平面所成角取值
范围为 .
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(3)二面角:设二面角平面角为θ,两个半平面法向量分别为m,n,求出cos<m,n>= ,依据图形判断θ是锐角、直角,还是钝角,从而得出θ与
<m,n>是相等还是互补.
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例    (江苏苏北四市期中)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,∠ABC=∠BAD=90°, AD=AP=4,AB=BC=2,M为PC中点.
(1)求异面直线AP,BM所成角余弦值;
(2)点N在线段AD上,且AN=λ,若直线MN与平面PBC所成角正弦值为 ,求λ值.
 
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解析　(1)因为PA⊥平面ABCD,且AB,AD⊂平面ABCD,
所以PA⊥AB,PA⊥AD,
又因为∠BAD=90°,所以PA,AB,AD两两相互垂直.
以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,4,0),P(0,0,4),
因为M为PC中点,所以M(1,1,2).
则 =(-1,1,2), =(0,0,4),
所以cos< , >= = = ,
所以异面直线AP,BM所成角余弦值为 .
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