有限差分法及热传导数值计算.ppt

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本章要点：1. 着重掌握导热问题数值解法的基本思想
掌握节点离散方程的建立及求解
本章难点：离散方程的建立（有限差分方程）
本章主要内容：
第一节 导热问题数值求解的基本思想
第二节 内节点离散方程的建立方法
第三节 边界节点离散方程的建立及代数方程的求解
第四节 非稳态导热问题的数值解法
（1）有限差分法
（2）有限元方法
（3）边界元方法
求解导热问题实际上就是对导热微分方程在定解条件下的积分求解，从而获得分析解。近100年来,对大量几何形状及边界条件比较简单的问题获得了分析解,但对于工程技术中遇到的许多几何形状或边界条件复杂的导热问题,，，这些数值解法主要有以下几种：
题进行数值解法的基本思路可以概括为：把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场，如导热物体的温度场等，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，来获得离散点上被求物理量的值。该方法称为数值解法。
点上被求物理量值的集合称为该物理量的数值解。
• 数值解法的实质
理论解 在规定的边界条件下积分，有很大局限性；
数值解 借助计算机，前景广阔。
导热问题数值解法的基本思想——离散化
01
以有限差分 无限微分 无限划分
实质 达到精度
以差分代数方程 微分方程 计算机帮助
（当离散点足够多时可以满足要求）
（连续的问题 离散的问题）
02
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
建立节点物理量的代数方程
设立温度场的迭代初值
求解代数方程
是否收敛
解的分析
改进初场
是
否
物理问题的数值求解过程
内节点离散方程的建立方法
下面先对稳态导热问题中位于计算区域内部的节点(简称内节点)介绍其离散方程的建立方法，而位于边界上的节点及非稳态导热中的非稳态项的离散将在以后讨论。
为讨论方便，把如图中的节点(m，n)及其邻点取出并放大，如图所示。
图4-3 内节点离散方程的建立
（b）
x
y
n
m
(m,n)
M
N
基本概念：控制单元、网格划分、节点、边界、步长等
二维矩形域内稳态、常物性的导热问题
下面以一个二维导热问题为例进行分析(有限差分法)：
把一个二维物体在X及Y方向上分别以 及 距离分割成矩形网格。则其中节点（m，n)的坐标为：X=m , Y=n ,
其余节点类推。（举例）
三种基本差分格式：[以节点(m，n)为例]
（1）向前差分：
（2）向后差分：
（3）中心差分：
所以：
对无内热源、稳态、二阶导热微分方程，有：
用中心差分格式
因为：
最终得：
1
如果取正方形网格，即取 ，则上式为：
2
tm+1,n+tm-1,n+tm,n+1+tm,n-1-4tm,n=0
3
上式说明：在导热系数为常量时，热量的转移可用温度差来表达；
4
在稳态下，流向任何节点的热量的总和必须为零。
5
对于每个节点写出上式，然后联立求解方程组，即可求解。
6
（如边界温度已知，可逐步递推求解）
7